Achar f(t) nas seguintes equações integrais de Volterra: f(t)=2 t-4 integral0^t f(t-u) sen u d u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função f(t) = 2t - 4 integral0^t f(t - u) sen u , du que satisfaz a seguinte equação integral de Volterra:
Matéria envolvida: Equações integrais de Volterra, transformadas de Laplace e resolução de equações diferenciais.
O que vamos precisar: Entender como aplicar a transformada de Laplace em equações integrais e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais e integrais.

Passo 3

Sabemos que a transformada de Laplace de L2t = 2s^2 é:
L integral0^t f(t - u) sen u , du = Lf(t) cdot Lsen t
Agora, vamos tratar a parte do integral. A transformada de Laplace de uma convolução L integral0^t f(t - u) sen u , du = F(s) cdot 1s^2 + 1 é o produto das transformadas individuais:
Sabemos que , então:
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 4

Substituindo tudo de volta na equação original:
F(s) = 2s^2 - 4 ( F(s) cdot 1s^2 + 1 )
Vamos reorganizar para isolar F(s) + 4 F(s)s^2 + 1 = 2s^2 :
F(s) ( 1 + 4s^2 + 1 ) = 2s^2
Fatorando F(s) = 2 (s^2 + 1)s^2 (s^2 + 5) :
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por :

Passo 5

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais para facilitar a aplicação da transformada inversa de Laplace:
2 (s^2 + 1)s^2 (s^2 + 5) = As + Bs^2 + Cs + Ds^2 + 5
Multiplicando ambos os lados por A = 0, B = 25, C = 0, D = 85 e igualando os coeficientes, encontramos:
F(s) = 2/5s^2 + 8/5s^2 + 5
Portanto, a decomposição fica:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para obter f(t) = 25 t + 85 cdot sen(raiz5 t)raiz5 :
Simplificando:

Resposta

A solução para a equação integral dada é:

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