Achar nas seguintes equações integrais de Volterra: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função que satisfaz a seguinte equação integral de Volterra:
Matéria envolvida: Equações integrais de Volterra, transformadas de Laplace e resolução de equações diferenciais.
O que vamos precisar: Entender como aplicar a transformada de Laplace em equações integrais e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais e integrais.

Passo 3

Sabemos que a transformada de Laplace de é:
Agora, vamos tratar a parte do integral. A transformada de Laplace de uma convolução é o produto das transformadas individuais:
Sabemos que , então:
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 4

Substituindo tudo de volta na equação original:
Vamos reorganizar para isolar :
Fatorando :
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por :

Passo 5

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais para facilitar a aplicação da transformada inversa de Laplace:
Multiplicando ambos os lados por e igualando os coeficientes, encontramos:
Portanto, a decomposição fica:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para obter :
Simplificando:

Resposta

A solução para a equação integral dada é:

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