Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz a seguinte equação integral de Volterra:
Matéria envolvida: Equações integrais de Volterra, transformadas de Laplace e resolução de equações diferenciais.
O que vamos precisar: Entender como aplicar a transformada de Laplace em equações integrais e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais e integrais.
Passo 3
Sabemos que a transformada de Laplace de
é:
Agora, vamos tratar a parte do integral. A transformada de Laplace de uma convolução
é o produto das transformadas individuais:
Sabemos que , então:
Onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 4
Substituindo tudo de volta na equação original:
Vamos reorganizar para isolar
:
Fatorando
:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por
:
Passo 5
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais para facilitar a aplicação da transformada inversa de Laplace:
Multiplicando ambos os lados por
e igualando os coeficientes, encontramos:
Portanto, a decomposição fica:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para obter
:
Simplificando:
Resposta
A solução para a equação integral dada é:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Verifique a diferenciabilidade das funções nos pontos indicados:
em
e
nos pontos
e
.
Seja
, onde
e
. Use um SCA para traçar esse campo vetorial em vários domínios, até conseguir visualizar o que ocorre. Descreva a aparência do desenho e explique-o, determinando os pontos onde
.
Desenhe o campo vetorial gradiente de
juntamente com um mapa de contorno de
. Explique como eles estão relacionados entre si.