Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar as derivadas parciais dela em relação a cada variável:
,
e
. Isso faz parte do estudo de derivadas parciais em cálculo multivariável. Pra isso, vamos derivar a função mantendo as outras variáveis constantes em cada passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
-
: Aqui, tratamos e como constantes. A derivada de é 1, então:
-
: Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e , cuja derivada em relação a é :
-
: Como é tratado como constante em relação a , a derivada de em relação a é 0:
Somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
, ou seja,
.
Derivando termo a termo em relação a
:
-
: Aqui, e são constantes. A derivada de é 1:
-
: Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e , cuja derivada em relação a é :
-
: Como antes, a derivada é 0:
Somando tudo:
Passo 4
Por último, vamos derivar
em relação a
, ou seja,
.
Derivando termo a termo em relação a
:
-
: e são constantes. A derivada de é 1:
-
: Como não há nessa parte, a derivada é 0:
-
: A derivada de em relação a é :
Somando tudo:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
Verifique a diferenciabilidade das funções nos pontos indicados:
em
e
nos pontos
e
.
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
Seja
, onde
e
. Use um SCA para traçar esse campo vetorial em vários domínios, até conseguir visualizar o que ocorre. Descreva a aparência do desenho e explique-o, determinando os pontos onde
.