Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais dela em relação a cada variável: , e . Isso faz parte do estudo de derivadas parciais em cálculo multivariável. Pra isso, vamos derivar a função mantendo as outras variáveis constantes em cada passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Derivando termo a termo em relação a :
  1. : Aqui, tratamos e como constantes. A derivada de é 1, então:
  1. : Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e , cuja derivada em relação a é :
  1. : Como é tratado como constante em relação a , a derivada de em relação a é 0:
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a , ou seja, .
Derivando termo a termo em relação a :
  1. : Aqui, e são constantes. A derivada de é 1:
  1. : Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e , cuja derivada em relação a é :
  1. : Como antes, a derivada é 0:
Somando tudo:

Passo 4

Por último, vamos derivar em relação a , ou seja, .
Derivando termo a termo em relação a :
  1. : e são constantes. A derivada de é 1:
  1. : Como não há nessa parte, a derivada é 0:
  1. : A derivada de em relação a é :
Somando tudo:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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