Verifique a diferenciabilidade das funções nos pontos indicados: em e nos pontos e .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função chamada que é definida de duas maneiras:
  1. Quando , ela é igual a .
  2. No ponto , ela é definida como .
O objetivo é verificar se essa função é diferenciável nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade, calcular derivadas parciais e analisar o comportamento da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a diferenciabilidade no ponto .
A função é uma razão de polinômios, e no ponto , o denominador não é zero, já que . Isso significa que a função é suave (diferenciável) nesse ponto.
Para confirmar, vamos calcular as derivadas parciais de em .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a e em relação a .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Vamos avaliar essas derivadas em :
Para e , substituímos na expressão das derivadas e encontramos valores finitos, o que confirma que as derivadas existem e são contínuas nesse ponto.

Passo 4

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade no ponto .
Aqui, a função é definida de forma diferente: . Precisamos verificar se a função é diferenciável nesse ponto, ou seja, se ela é suave e se as derivadas parciais existem e são contínuas em .
Primeiro, vamos tentar calcular as derivadas parciais em .

Passo 5

Calculando a derivada parcial de em relação a no ponto :
Esse limite tende ao infinito, o que significa que a derivada parcial em relação a não existe em .

Passo 6

Como uma das derivadas parciais não existe em , já podemos concluir que a função não é diferenciável nesse ponto. Além disso, a existência de derivadas parciais contínuas é uma condição necessária para a diferenciabilidade, e nesse caso, essa condição não é satisfeita.

Resposta

A função é diferenciável no ponto e não é diferenciável no ponto .

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