Verifique a diferenciabilidade das funções nos pontos indicados:
em
e
nos pontos
e
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função chamada
que é definida de duas maneiras:
- Quando
, ela é igual a . - No ponto
, ela é definida como .
O objetivo é verificar se essa função é diferenciável nos pontos
e
. Para isso, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade, calcular derivadas parciais e analisar o comportamento da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a diferenciabilidade no ponto
.
A função
é uma razão de polinômios, e no ponto
, o denominador
não é zero, já que
. Isso significa que a função é suave (diferenciável) nesse ponto.
Para confirmar, vamos calcular as derivadas parciais de
em
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
e em relação a
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Vamos avaliar essas derivadas em
:
Para e
, substituímos na expressão das derivadas e encontramos valores finitos, o que confirma que as derivadas existem e são contínuas nesse ponto.
Para
Passo 4
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade no ponto
.
Aqui, a função é definida de forma diferente:
. Precisamos verificar se a função é diferenciável nesse ponto, ou seja, se ela é suave e se as derivadas parciais existem e são contínuas em
.
Primeiro, vamos tentar calcular as derivadas parciais em
.
Passo 5
Calculando a derivada parcial de
em relação a
no ponto
:
Esse limite tende ao infinito, o que significa que a derivada parcial em relação a
não existe em
.
Passo 6
Como uma das derivadas parciais não existe em
, já podemos concluir que a função
não é diferenciável nesse ponto. Além disso, a existência de derivadas parciais contínuas é uma condição necessária para a diferenciabilidade, e nesse caso, essa condição não é satisfeita.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
e não é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Verifique a diferenciabilidade das funções nos pontos indicados:
nos pontos
e
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
.