Desenhe o campo vetorial gradiente de juntamente com um mapa de contorno de . Explique como eles estão relacionados entre si.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa desenhar o campo vetorial gradiente da função junto com um mapa de contorno dessa função. Além disso, é preciso explicar como esses dois conceitos estão relacionados. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um gradiente, como calcular ele, e o que é um mapa de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a e . Então, vamos encontrar e .
Para :
Então, o gradiente é:

Passo 3

Agora que temos o gradiente, vamos entender como desenhar o campo vetorial gradiente. Cada ponto no plano terá um vetor associado a ele. Isso significa que, para diversos valores de e , vamos desenhar vetores que indicam a direção e a intensidade do gradiente naquele ponto.

Passo 4

Em seguida, vamos criar o mapa de contorno da função . Um mapa de contorno é uma representação gráfica onde as linhas conectam pontos que têm o mesmo valor de . Essas linhas são chamadas de curvas de nível. Para desenhar o mapa de contorno, escolhemos diferentes valores de e traçamos as curvas correspondentes.

Passo 5

Agora, vamos relacionar o campo vetorial gradiente com o mapa de contorno. O gradiente é sempre perpendicular às curvas de nível no mapa de contorno. Isso acontece porque o gradiente aponta na direção de maior aumento da função, e as curvas de nível representam pontos de mesmo valor, ou seja, não há variação na direção tangente a essas curvas. Portanto, os vetores do gradiente são normais (perpendiculares) às linhas de contorno.

Resposta

Então, desenhando o campo vetorial gradiente junto com o mapa de contorno da função , observamos que os vetores do gradiente são sempre perpendiculares às curvas de contorno. Isso mostra que o gradiente indica a direção de maior crescimento da função e está intimamente ligado à geometria das curvas de nível.

Exercícios relacionados

Seja , onde e . Use um SCA para traçar esse campo vetorial em vários domínios, até conseguir visualizar o que ocorre. Descreva a aparência do desenho e explique-o, determinando os pontos onde .
Achar nas seguintes equações integrais de Volterra: .
Determine o campo vetorial gradiente .
Desenhe o campo vetorial gradiente de juntamente com um mapa de contorno de . Explique como eles estão relacionados entre si.