Seja
, onde
e
. Use um SCA para traçar esse campo vetorial em vários domínios, até conseguir visualizar o que ocorre. Descreva a aparência do desenho e explique-o, determinando os pontos onde
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido por
, onde
e
é a distância do ponto
até a origem. A tarefa é usar um Sistema de Coordenadas Analíticas (SCA) para traçar esse campo em diferentes áreas, visualizar como ele se comporta, descrever seu desenho e encontrar os pontos onde
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais e como analisá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula do campo vetorial. Temos:
Aqui,
é a distância do ponto
até a origem. O fator
vai influenciar o tamanho e a direção dos vetores no campo.
Passo 3
Para desenhar o campo vetorial, vamos escolher alguns pontos no plano e calcular
para cada um deles. Por exemplo:
-
No ponto
: -
No ponto
: -
No ponto
:
Passo 4
Analisando esses cálculos, percebemos que quando
, o vetor
. Isso significa que todos os pontos que estão a uma distância de 2 unidades da origem são onde o campo vetorial é nulo.
Passo 5
Vamos observar o comportamento do campo vetorial em diferentes regiões:
-
Para
: O termo é negativo, então os vetores apontam na direção oposta a , ou seja, em direção à origem. -
Para
: O termo é positivo, então os vetores apontam na mesma direção de , afastando-se da origem. -
No círculo de raio 2 (
): Os vetores têm magnitude zero, formando uma espécie de “anel de equilíbrio” onde o campo muda de direção.
Ao traçar esses vetores, o campo vetorial mostra uma convergência para a origem dentro do círculo de raio 2 e uma divergência para fora além desse círculo.
Resposta
Os pontos onde
estão localizados em todos os pontos que estão a uma distância de 2 unidades da origem, ou seja, no círculo de raio 2 centrado na origem.
Exercícios relacionados
Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Desenhe o campo vetorial gradiente de
juntamente com um mapa de contorno de
. Explique como eles estão relacionados entre si.
Determine o campo vetorial gradiente
.