Seja , onde e . Use um SCA para traçar esse campo vetorial em vários domínios, até conseguir visualizar o que ocorre. Descreva a aparência do desenho e explique-o, determinando os pontos onde .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido por , onde e é a distância do ponto até a origem. A tarefa é usar um Sistema de Coordenadas Analíticas (SCA) para traçar esse campo em diferentes áreas, visualizar como ele se comporta, descrever seu desenho e encontrar os pontos onde . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais e como analisá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula do campo vetorial. Temos:
Aqui, é a distância do ponto até a origem. O fator vai influenciar o tamanho e a direção dos vetores no campo.

Passo 3

Para desenhar o campo vetorial, vamos escolher alguns pontos no plano e calcular para cada um deles. Por exemplo:
  • No ponto :
  • No ponto :
  • No ponto :

Passo 4

Analisando esses cálculos, percebemos que quando , o vetor . Isso significa que todos os pontos que estão a uma distância de 2 unidades da origem são onde o campo vetorial é nulo.

Passo 5

Vamos observar o comportamento do campo vetorial em diferentes regiões:
  • Para : O termo é negativo, então os vetores apontam na direção oposta a , ou seja, em direção à origem.
  • Para : O termo é positivo, então os vetores apontam na mesma direção de , afastando-se da origem.
  • No círculo de raio 2 ( ): Os vetores têm magnitude zero, formando uma espécie de “anel de equilíbrio” onde o campo muda de direção.
Ao traçar esses vetores, o campo vetorial mostra uma convergência para a origem dentro do círculo de raio 2 e uma divergência para fora além desse círculo.

Resposta

Os pontos onde estão localizados em todos os pontos que estão a uma distância de 2 unidades da origem, ou seja, no círculo de raio 2 centrado na origem.

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Desenhe o campo vetorial gradiente de juntamente com um mapa de contorno de . Explique como eles estão relacionados entre si.
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