Seja
dada por
.
Mostre que
é injetora.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
definida por
. O que a gente precisa mostrar é que essa função é injetora. Isso significa que se dois valores diferentes de
forem colocados na função, eles vão dar resultados diferentes. Para provar isso, vamos usar conceitos de funções e álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser injetora. Função injetora é quando cada valor no domínio é mapeado para um valor único no contradomínio. Em outras palavras, se
, então necessariamente
. Nosso objetivo é provar que isso acontece com a função dada.
Passo 3
Vamos assumir que
e mostrar que isso leva a
. Então, temos:
Passo 4
Para resolver essa igualdade, vamos multiplicar cruzado para eliminar as frações:
Expandindo ambos os lados:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a equação. Subtraindo
e
de ambos os lados, ficamos com:
Reorganizando os termos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Chegamos à conclusão de que
quando
. Isso prova que a função
é injetora, já que valores diferentes de
levam a valores diferentes de
.
Resposta
Portanto, a função
é injetora.