Seja f: A (1,10] dada por f(x)=4-11 x4-2 x.
Mostre que f é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função definida por . O que a gente precisa mostrar é que essa função é injetora. Isso significa que se dois valores diferentes de forem colocados na função, eles vão dar resultados diferentes. Para provar isso, vamos usar conceitos de funções e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser injetora. Função injetora é quando cada valor no domínio é mapeado para um valor único no contradomínio. Em outras palavras, se , então necessariamente . Nosso objetivo é provar que isso acontece com a função dada.

Passo 3

Vamos assumir que 4 - 11x14 - 2x1 = 4 - 11x24 - 2x2 e mostrar que isso leva a . Então, temos:

Passo 4

Para resolver essa igualdade, vamos multiplicar cruzado para eliminar as frações:
(4 - 11x1)(4 - 2x2) = (4 - 11x2)(4 - 2x1)
Expandindo ambos os lados:
16 - 8x2 - 44x1 + 22x1x2 = 16 - 8x1 - 44x2 + 22x1x2

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação. Subtraindo -8x2 - 44x1 = -8x1 - 44x2 e -44x1 + 8x1 = -44x2 + 8x2 de ambos os lados, ficamos com:
-36x1 = -36x2
Reorganizando os termos:
x1 = x2
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Chegamos à conclusão de que quando . Isso prova que a função é injetora, já que valores diferentes de levam a valores diferentes de .

Resposta

Portanto, a função é injetora.

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