Achar uma função f: A B, com A e B subconjuntos de R, para cada caso abaixo:
A nsubseteq R, B=R e f sobrejetora e não injetora.

Passo 1

Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função , onde e são subconjuntos dos números reais . No caso específico, é igual a , e queremos que a função seja sobrejetora (ou seja, que todo valor de tenha pelo menos um correspondente em ) e não injetora (ou seja, que pelo menos dois valores diferentes de apontem para o mesmo valor em ). Para isso, vamos precisar entender bem o que significa uma função ser sobrejetora e não injetora e escolher uma que encaixe nessas características.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o conjunto . Como queremos que a função seja sobrejetora para todo , é lógico escolher também como . Assim, nossa função será .

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma função que seja sobrejetora e não injetora. Uma boa candidata para isso é a função:
f(x) = x + sin(x)
Vamos ver por quê essa função atende aos requisitos.

Passo 4

Sobrejetividade: Para ser sobrejetora, a função precisa cobrir todo o conjunto . Observando , percebemos que conforme tende ao infinito positivo ou negativo, também tende ao infinito positivo ou negativo, respectivamente. Além disso, como oscila entre -1 e 1, a função basicamente “sobe” e “desce” ligeiramente, mas continua cobrindo todos os valores possíveis de . Portanto, é sobrejetora.
Não injetividade: Para ser não injetora, deve existir pelo menos dois valores diferentes de que resultem no mesmo . Como é uma função periódica com período , para valores de que diferem por múltiplos de , o termo se repete. Portanto, mesmo que aumente, o valor de pode se repetir devido à periodicidade do seno, fazendo com que diferentes resultem no mesmo .

Resposta

Uma função que atende aos requisitos é , onde e . Essa função é sobrejetora e não injetora.

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