Achar uma função
, com
e
subconjuntos de
, para cada caso abaixo:
e
sobrejetora e não injetora.
Passo 1
Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função
, onde
e
são subconjuntos dos números reais
. No caso específico,
é igual a
, e queremos que a função seja sobrejetora (ou seja, que todo valor de
tenha pelo menos um correspondente em
) e não injetora (ou seja, que pelo menos dois valores diferentes de
apontem para o mesmo valor em
). Para isso, vamos precisar entender bem o que significa uma função ser sobrejetora e não injetora e escolher uma que encaixe nessas características.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o conjunto
. Como queremos que a função seja sobrejetora para todo
, é lógico escolher
também como
. Assim, nossa função será
.
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma função que seja sobrejetora e não injetora. Uma boa candidata para isso é a função:
Vamos ver por quê essa função atende aos requisitos.
Passo 4
Sobrejetividade: Para ser sobrejetora, a função precisa cobrir todo o conjunto
. Observando
, percebemos que conforme
tende ao infinito positivo ou negativo,
também tende ao infinito positivo ou negativo, respectivamente. Além disso, como
oscila entre -1 e 1, a função
basicamente “sobe” e “desce” ligeiramente, mas continua cobrindo todos os valores possíveis de
. Portanto,
é sobrejetora.
Não injetividade: Para ser não injetora, deve existir pelo menos dois valores diferentes de
que resultem no mesmo
. Como
é uma função periódica com período
, para valores de
que diferem por múltiplos de
, o termo
se repete. Portanto, mesmo que
aumente, o valor de
pode se repetir devido à periodicidade do seno, fazendo com que diferentes
resultem no mesmo
.
Resposta
Uma função que atende aos requisitos é
, onde
e
. Essa função é sobrejetora e não injetora.
Exercícios relacionados
Sejam
conjuntos,
uma função,
e
. Então
.
Seja
dada por
.
Obter .
Obter
Use o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar os autovetores encontrados e obtenha uma base ortonormal de autovetores para a transformação
.
Dadas as funções
e
, determine condições sobre
e
para que
, quando:
e