Use o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar os autovetores encontrados e obtenha uma base ortonormal de autovetores para a transformação T.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que usar o Processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar um conjunto de autovetores de uma transformação linear . Isso significa que vamos transformar esses autovetores em um conjunto de vetores que são perpendiculares entre si (ortogonais) e com comprimento 1 (normalizados). Para isso, vamos precisar conhecer os autovetores que já foram encontrados e aplicar o processo passo a passo para obter nossa base ortonormal.

Passo 2

O Processo de Gram-Schmidt começa com um conjunto de vetores que são linearmente independentes. Vamos chamar esses vetores de . O objetivo é transformar esses vetores em um novo conjunto que sejam ortonormais.

Passo 3

Passo 1 do Gram-Schmidt: Começamos normalizando o primeiro vetor.
u1 = v1|v1|
Aqui, |v1| = raizv1x^2 + v1y^2 + dots + v1n^2 representa a norma ou comprimento do vetor , calculada por:

Passo 4

Passo 2 do Gram-Schmidt: Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor em relação ao primeiro.
u2' = v2 - proju1(v2)
A projeção de proju1(v2) = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 em u2 = u2'|u2'| é dada por:
Depois, normalizamos :

Passo 5

Passo 3 do Gram-Schmidt: Repetimos o processo para o terceiro vetor, ortogonalizando-o em relação a u3' = v3 - proju1(v3) - proju2(v3) e u3 = u3'|u3'| :
E então normalizamos:

Passo 6

Passo Final: Continuamos esse processo para todos os vetores no conjunto inicial . O resultado será um conjunto de vetores que formam uma base ortonormal para a transformação .

Resposta

Após aplicar o Processo de Gram-Schmidt nos autovetores de u1, u2, dots, un , obtemos uma base ortonormal de autovetores:
onde cada é um vetor unitário e ortogonal aos demais.

Exercícios relacionados

Achar uma função f: A B, com A e B subconjuntos de R, para cada caso abaixo:
A nsubseteq R, B=R e f sobrejetora e não injetora.
Sejam P, Q conjuntos, f: P Q uma função, A subseteq P e B subseteq Q. Então f(A) cap B=f(A cap f^-1(B)).
Dadas as funções f(x)=3 x+m e g(x)=a x+2, determine condições sobre a e m para que (f circ g)(x)=(g circ f)(x), quando:
f: Z6 Z6 e g: Z6 Z6
Ao selecionar aleatoriamente um funcionário para a reunião das unidades internacionais da empresa, calcule a probabilidade desse funcionário:
b) (0,5 ponto) Dominar o idioma estrangeiro A, dado que domina o idioma estrangeiro B.