Use o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar os autovetores encontrados e obtenha uma base ortonormal de autovetores para a transformação
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que usar o Processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar um conjunto de autovetores de uma transformação linear
. Isso significa que vamos transformar esses autovetores em um conjunto de vetores que são perpendiculares entre si (ortogonais) e com comprimento 1 (normalizados). Para isso, vamos precisar conhecer os autovetores que já foram encontrados e aplicar o processo passo a passo para obter nossa base ortonormal.
Passo 2
O Processo de Gram-Schmidt começa com um conjunto de vetores que são linearmente independentes. Vamos chamar esses vetores de
. O objetivo é transformar esses vetores em um novo conjunto
que sejam ortonormais.
Passo 3
Passo 1 do Gram-Schmidt: Começamos normalizando o primeiro vetor.
Aqui,
representa a norma ou comprimento do vetor
, calculada por:
Passo 4
Passo 2 do Gram-Schmidt: Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor em relação ao primeiro.
A projeção de
em
é dada por:
Depois, normalizamos
:
Passo 5
Passo 3 do Gram-Schmidt: Repetimos o processo para o terceiro vetor, ortogonalizando-o em relação a
e
:
E então normalizamos:
Passo 6
Passo Final: Continuamos esse processo para todos os vetores no conjunto inicial
. O resultado será um conjunto de vetores
que formam uma base ortonormal para a transformação
.
Resposta
Após aplicar o Processo de Gram-Schmidt nos autovetores de
, obtemos uma base ortonormal de autovetores:
onde cada
é um vetor unitário e ortogonal aos demais.
Exercícios relacionados
Achar uma função
, com
e
subconjuntos de
, para cada caso abaixo:
e
sobrejetora e não injetora.
Sejam
conjuntos,
uma função,
e
. Então
.
Dadas as funções
e
, determine condições sobre
e
para que
, quando:
e
Ao selecionar aleatoriamente um funcionário para a reunião das unidades internacionais da empresa, calcule a probabilidade desse funcionário:
b) ponto) Dominar o idioma estrangeiro
, dado que domina o idioma estrangeiro
.
b)