Sejam
conjuntos,
uma função,
e
. Então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente mostre que, ao aplicar uma função
a um conjunto
e depois intersectar com outro conjunto
, isso é igual a aplicar
ao conjunto que é a interseção de
com a pré-imagem de
através de
. Estamos lidando com funções entre conjuntos, imagem de conjuntos e pré-imagem. Para resolver, precisamos entender como a imagem de um conjunto e a pré-imagem funcionam e como elas se relacionam com a interseção de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem de um conjunto
através da função
. A imagem
é o conjunto de todos os elementos em
que são imagens de pelo menos um elemento de
. Em outras palavras:
Já a pré-imagem de
por
, denotada por
, é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados para algum elemento de
:
Passo 3
Vamos começar provando que
.
Seja
. Isso significa que
está na imagem de
e também está em
. Então, existe algum
tal que
. Além disso, como
, temos que
pertence à pré-imagem de
, ou seja,
. Portanto,
, o que implica que
. Logo,
.
Passo 4
Agora, vamos provar a inclusão inversa:
.
Seja
. Então, existe algum
tal que
. Como
, claramente
. Além disso,
implica que
. Portanto,
. Assim,
, o que mostra que
.
Resposta
Com as duas inclusões comprovadas, concluímos que: