Sejam P, Q conjuntos, f: P Q uma função, A subseteq P e B subseteq Q. Então f(A) cap B=f(A cap f^-1(B)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente mostre que, ao aplicar uma função a um conjunto e depois intersectar com outro conjunto , isso é igual a aplicar ao conjunto que é a interseção de com a pré-imagem de através de . Estamos lidando com funções entre conjuntos, imagem de conjuntos e pré-imagem. Para resolver, precisamos entender como a imagem de um conjunto e a pré-imagem funcionam e como elas se relacionam com a interseção de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem de um conjunto f(A) = f(a) mid a in A através da função f^-1(B) = p in P mid f(p) in B . A imagem é o conjunto de todos os elementos em que são imagens de pelo menos um elemento de . Em outras palavras:
Já a pré-imagem de por , denotada por , é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para algum elemento de :

Passo 3

Vamos começar provando que .
Seja . Isso significa que está na imagem de e também está em . Então, existe algum tal que . Além disso, como , temos que pertence à pré-imagem de , ou seja, . Portanto, , o que implica que . Logo, .

Passo 4

Agora, vamos provar a inclusão inversa: .
Seja . Então, existe algum tal que . Como , claramente . Além disso, implica que . Portanto, . Assim, , o que mostra que .

Resposta

Com as duas inclusões comprovadas, concluímos que:
f(A) cap B = f( A cap f^-1(B) )

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