Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente mostre que, ao aplicar uma função a um conjunto e depois intersectar com outro conjunto , isso é igual a aplicar ao conjunto que é a interseção de com a pré-imagem de através de . Estamos lidando com funções entre conjuntos, imagem de conjuntos e pré-imagem. Para resolver, precisamos entender como a imagem de um conjunto e a pré-imagem funcionam e como elas se relacionam com a interseção de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem de um conjunto através da função . A imagem é o conjunto de todos os elementos em que são imagens de pelo menos um elemento de . Em outras palavras:
Já a pré-imagem de por , denotada por , é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para algum elemento de :
Passo 3
Vamos começar provando que .
Seja . Isso significa que está na imagem de e também está em . Então, existe algum tal que . Além disso, como , temos que pertence à pré-imagem de , ou seja, . Portanto, , o que implica que . Logo, .
Passo 4
Agora, vamos provar a inclusão inversa: .
Seja . Então, existe algum tal que . Como , claramente . Além disso, implica que . Portanto, . Assim, , o que mostra que .
Resposta
Com as duas inclusões comprovadas, concluímos que: