Seja f: R^2 R dada por f(x, y)=x y-2.
Obter f(]-3,4] times[2,4[).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos a função definida por . Queremos encontrar a imagem dessa função quando aplicamos o conjunto de entrada . Isso significa que precisamos descobrir todos os possíveis valores de quando está entre e (excluindo e incluindo ) e está entre e (incluindo e excluindo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta. Essa função pega dois números reais e , multiplica eles e depois subtrai . Nosso objetivo é descobrir os valores possíveis de dentro dos intervalos dados e, em seguida, subtrair para encontrar a imagem.

Passo 3

Vamos analisar os intervalos de e :
  • está no intervalo , ou seja, .
  • está no intervalo , ou seja, .
Como pode ser positivo ou negativo, precisamos considerar os extremos para encontrar os valores máximos e mínimos de .

Passo 4

Vamos calcular os produtos extremos :
  1. Quando é máximo ( ) e é máximo ( , onde é um número muito pequeno), o produto será próximo de .
  2. Quando é mínimo ( ) e é máximo ( ), o produto será próximo de .
  3. Quando é máximo ( ) e é mínimo ( ), o produto será .
  4. Quando é mínimo ( ) e é mínimo ( ), o produto será próximo de .
Então, o produto varia aproximadamente entre e .

Passo 5

Agora, vamos aplicar a função aos valores extremos que encontramos:
  1. Para : .
  2. Para : .
  3. Para : .
  4. Para : .

Passo 6

Com isso, podemos ver que os valores de variam aproximadamente entre e . Portanto, a imagem da função no conjunto é o intervalo .

Resposta

A imagem de é o conjunto .

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