Seja
dada por
.
Obter
.
Obter
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos a função
definida por
. Queremos encontrar a imagem dessa função quando aplicamos o conjunto de entrada
. Isso significa que precisamos descobrir todos os possíveis valores de
quando
está entre
e
(excluindo
e incluindo
) e
está entre
e
(incluindo
e excluindo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
se comporta. Essa função pega dois números reais
e
, multiplica eles e depois subtrai
. Nosso objetivo é descobrir os valores possíveis de
dentro dos intervalos dados e, em seguida, subtrair
para encontrar a imagem.
Passo 3
Vamos analisar os intervalos de
e
:
-
está no intervalo , ou seja, . -
está no intervalo , ou seja, .
Como
pode ser positivo ou negativo, precisamos considerar os extremos para encontrar os valores máximos e mínimos de
.
Passo 4
Vamos calcular os produtos extremos
:
- Quando
é máximo ( ) e é máximo ( , onde é um número muito pequeno), o produto será próximo de . - Quando
é mínimo ( ) e é máximo ( ), o produto será próximo de . - Quando
é máximo ( ) e é mínimo ( ), o produto será . - Quando
é mínimo ( ) e é mínimo ( ), o produto será próximo de .
Então, o produto
varia aproximadamente entre
e
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a função
aos valores extremos que encontramos:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Passo 6
Com isso, podemos ver que os valores de
variam aproximadamente entre
e
. Portanto, a imagem da função
no conjunto
é o intervalo
.
Resposta
A imagem de
é o conjunto
.