Achar uma função f: A B, com A e B subconjuntos de R, para cada caso abaixo:
A=R, B nsubseteq R e f sobrejetora e não injetora.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma função , onde e são subconjuntos dos números reais . No caso específico, temos que , , e a função deve ser sobrejetora (ou seja, toda imagem em é atingida por algum elemento de ) e não injetora (ou seja, existem pelo menos dois elementos em que têm a mesma imagem em ). Para resolver isso, vamos construir uma função que cubra todo o conjunto sem ser uma correspondência um-a-um.

Passo 2

Primeiro, precisamos decidir qual será o conjunto . Para simplificar, vamos escolher , já que isso facilita a construção de uma função sobrejetora. Agora, nossa função será .

Passo 3

Agora, precisamos construir uma função que seja sobrejetora e não injetora. Uma função sobrejetora deve satisfazer que para todo , existe pelo menos um tal que .
Por outro lado, para que a função não seja injetora, deve existir pelo menos dois valores distintos de que mapeiam para o mesmo .

Passo 4

Uma função simples que atende a esses critérios é uma função polinomial de grau 3 que não é estritamente crescente ou decrescente em todo o domínio. Por exemplo:
f(x) = x^3 - x

Passo 5

Vamos verificar se limx to -infty f(x) = -infty é sobrejetora e não injetora.
Sobrejetora:
Para qualquer limx to +infty f(x) = +infty , queremos encontrar f'(x) = 3x^2 - 1 tal que 3x^2 - 1 = 0 . Como x^2 = 13 é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo, sabemos que:
x = pm 1raiz3
E, por continuidade, o teorema do valor intermediário garante que toda é atingida por algum .
Não Injetora:
Para provar que não é injetora, precisamos mostrar que existem pelo menos dois valores de que resultam no mesmo . Observando a derivada:
Quando :
Isso indica que a função tem pontos de máximo e mínimo locais, o que implica que existem valores de que são atingidos por mais de um , confirmando que não é injetora.

Resposta

A função é uma função de para que é sobrejetora e não injetora.

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