Achar uma função
, com
e
subconjuntos de
, para cada caso abaixo:
e
sobrejetora e não injetora.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma função
, onde
e
são subconjuntos dos números reais
. No caso específico, temos que
,
, e a função
deve ser sobrejetora (ou seja, toda imagem em
é atingida por algum elemento de
) e não injetora (ou seja, existem pelo menos dois elementos em
que têm a mesma imagem em
). Para resolver isso, vamos construir uma função que cubra todo o conjunto
sem ser uma correspondência um-a-um.
Passo 2
Primeiro, precisamos decidir qual será o conjunto
. Para simplificar, vamos escolher
, já que isso facilita a construção de uma função sobrejetora. Agora, nossa função será
.
Passo 3
Agora, precisamos construir uma função que seja sobrejetora e não injetora. Uma função sobrejetora
deve satisfazer que para todo
, existe pelo menos um
tal que
.
Por outro lado, para que a função não seja injetora, deve existir pelo menos dois valores distintos de
que mapeiam para o mesmo
.
Passo 4
Uma função simples que atende a esses critérios é uma função polinomial de grau 3 que não é estritamente crescente ou decrescente em todo o domínio. Por exemplo:
Passo 5
Vamos verificar se
é sobrejetora e não injetora.
Sobrejetora:
Para qualquer
, queremos encontrar
tal que
. Como
é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo, sabemos que:
E, por continuidade, o teorema do valor intermediário garante que toda
é atingida por algum
.
Não Injetora:
Para provar que
não é injetora, precisamos mostrar que existem pelo menos dois valores de
que resultam no mesmo
. Observando a derivada:
Quando
:
Isso indica que a função tem pontos de máximo e mínimo locais, o que implica que existem valores de
que são atingidos por mais de um
, confirmando que
não é injetora.
Resposta
A função
é uma função de
para
que é sobrejetora e não injetora.