Considere a função g: Z5 times Z9 Z5 times Z9 tal que g(barx, bary)=(2 x+3, 4 y+5).
g é sobrejetora?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por . A questão é: essa função é sobrejetora?
Aqui, estamos trabalhando com funções entre conjuntos finitos e sobretjetividade. Vamos precisar entender o que significa uma função ser sobrejetora e verificar se, para todo elemento no conjunto de chegada , existe pelo menos um elemento no conjunto de partida que mapeia para ele.

Passo 2

O que é sobrejetividade? Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada é a imagem de pelo menos um elemento do conjunto de partida. Ou seja, para cada , existe pelo menos um tal que .

Passo 3

Vamos analisar cada componente da função :
  1. Primeira componente: em
  2. Segunda componente: em
Para que seja sobrejetora, precisamos que ambas as componentes sejam sobrejetoras nos seus respectivos conjuntos.

Passo 4

Vamos verificar se a primeira componente é sobrejetora em .
Em , os elementos são .
Queremos que, para cada , exista um tal que .
Isso significa resolver a equação para .

Passo 5

Resolvendo :
Subtraímos 3 de ambos os lados:
Agora, queremos isolar . Para isso, precisamos multiplicar ambos os lados pelo inverso de 2 em .
O inverso de 2 em é 3, porque .
Multiplicando ambos os lados por 3:
Simplificando:
Como :
Isso mostra que, para qualquer , existe um que satisfaz a equação. Portanto, a primeira componente é sobrejetora.

Passo 6

Agora, vamos verificar a segunda componente em .
Em , os elementos são .
Queremos que, para cada , exista um tal que .
Isso significa resolver a equação para .

Passo 7

Resolvendo :
Subtraímos 5 de ambos os lados:
Agora, queremos isolar . Para isso, precisamos multiplicar ambos os lados pelo inverso de 4 em .
O inverso de 4 em é 7, porque .
Multiplicando ambos os lados por 7:
Simplificando:
Como :
Isso mostra que, para qualquer , existe um que satisfaz a equação. Portanto, a segunda componente também é sobrejetora.

Resposta

Como ambas as componentes da função são sobrejetoras, concluímos que a função é sobrejetora.

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