Dadas as funções
e
, determine condições sobre
e
para que
, quando:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar condições sobre os parâmetros
e
das funções lineares
e
. Queremos que as composições
e
sejam iguais quando essas funções são aplicadas nos números inteiros (
). Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e igualar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a composição de funções. Quando a gente compõe duas funções, tipo
, isso significa que a gente aplica a função
primeiro e depois aplica a função
no resultado. Então, vamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
:
Expandindo isso:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Expandindo:
Passo 5
Para que
seja igual a
para todo
, os coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais nas duas expressões. Vamos igualar as duas composições:
Passo 6
Observando a equação acima, podemos ver que os termos com
são iguais (
), então vamos focar nos termos constantes:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
. Primeiro, vamos isolar os termos com
:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Isso nos dá uma condição que relaciona
e
.
Resposta
As condições necessárias para que
são que os números
e
satisfazem a equação:
Além disso, como
e
são funções de
para
, tanto
quanto
devem ser números inteiros que, quando multiplicados conforme a equação acima, resultem em 4.