Dadas as funções f(x)=3 x+m e g(x)=a x+2, determine condições sobre a e m para que (f circ g)(x)=(g circ f)(x), quando:
f: Z Z e g: Z Z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar condições sobre os parâmetros e das funções lineares e . Queremos que as composições e sejam iguais quando essas funções são aplicadas nos números inteiros ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e igualar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a composição de funções. Quando a gente compõe duas funções, tipo , isso significa que a gente aplica a função primeiro e depois aplica a função no resultado. Então, vamos calcular e .

Passo 3

Vamos começar calculando f(g(x)) = f(ax + 2) = 3(ax + 2) + m :
f(g(x)) = 3a x + 6 + m
Expandindo isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular g(f(x)) = g(3x + m) = a(3x + m) + 2 :
g(f(x)) = 3a x + a m + 2
Expandindo:

Passo 5

Para que 3a x + 6 + m = 3a x + a m + 2 seja igual a para todo , os coeficientes de e os termos constantes devem ser iguais nas duas expressões. Vamos igualar as duas composições:

Passo 6

Observando a equação acima, podemos ver que os termos com 6 + m = a m + 2 são iguais ( ), então vamos focar nos termos constantes:

Passo 7

Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre 6 + m - a m = 2 e m(1 - a) = -4 . Primeiro, vamos isolar os termos com :

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por m(a - 1) = 4 para simplificar:
Isso nos dá uma condição que relaciona e .

Resposta

As condições necessárias para que m(a - 1) = 4 são que os números e satisfazem a equação:
Além disso, como e são funções de para , tanto quanto devem ser números inteiros que, quando multiplicados conforme a equação acima, resultem em 4.

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