Seja f: A B uma função. Defina Pf: P(A) P(B) por
Pf(C)=beta in B mid existe alpha in C tal que f(alpha)=beta
para C subseteq A. Prove que:
f: A B é injetora se, e somente se, Pf: P(A) P(B) é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções entre dois conjuntos e e introduz uma nova função que atua nos subconjuntos de e os mapeia para subconjuntos de . Nosso objetivo é provar que a função é injetora (ou seja, cada elemento de é mapeado para um elemento único em ) se e somente se a função também for injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função injetora e como a função está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que se é injetora, então também é injetora.
O que significa ser injetora? Significa que se para dois subconjuntos e de , então necessariamente .
Por que isso acontece se é injetora? Se é injetora, isso quer dizer que cada elemento de é imagem de no máximo um elemento de . Assim, se , os elementos mapeados de e são os mesmos, o que força e a serem iguais, já que não pode haver duas elementos diferentes de mapeando para o mesmo elemento de .

Passo 3

Agora, vamos provar o outro lado: se Pf(C1) = f(alpha1) = f(alpha2) = Pf(C2) é injetora, então é injetora.
Como mostrar isso? Suponha que não seja injetora. Isso quer dizer que existem e em com , mas . Vamos considerar dois subconjuntos diferentes: e .
Aplicando nesses conjuntos, temos:
Então, mesmo que . Isso contraria a injetividade de . Logo, se é injetora, deve ser injetora para evitar essa contradição.

Resposta

Portanto, mostramos que é injetora se e somente se é injetora.

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