Seja
uma função. Defina
por
para
. Prove que:
é injetora se, e somente se,
é injetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções entre dois conjuntos
e
e introduz uma nova função
que atua nos subconjuntos de
e os mapeia para subconjuntos de
. Nosso objetivo é provar que a função
é injetora (ou seja, cada elemento de
é mapeado para um elemento único em
) se e somente se a função
também for injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função injetora e como a função
está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que se
é injetora, então
também é injetora.
O que significa
ser injetora? Significa que se
para dois subconjuntos
e
de
, então necessariamente
.
Por que isso acontece se
é injetora? Se
é injetora, isso quer dizer que cada elemento de
é imagem de no máximo um elemento de
. Assim, se
, os elementos mapeados de
e
são os mesmos, o que força
e
a serem iguais, já que não pode haver duas elementos diferentes de
mapeando para o mesmo elemento de
.
Passo 3
Agora, vamos provar o outro lado: se
é injetora, então
é injetora.
Como mostrar isso? Suponha que
não seja injetora. Isso quer dizer que existem
e
em
com
, mas
. Vamos considerar dois subconjuntos diferentes:
e
.
Aplicando
nesses conjuntos, temos:
Então,
mesmo que
. Isso contraria a injetividade de
. Logo, se
é injetora,
deve ser injetora para evitar essa contradição.
Resposta
Portanto, mostramos que
é injetora se e somente se
é injetora.