Achar uma função
, com
e
subconjuntos de
, para cada caso abaixo:
e
injetora e não sobrejetora.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que achar uma função
, onde
e
são subconjuntos dos números reais
. No caso específico que vamos resolver,
e
também é um subconjunto de
. Além disso, a função
precisa ser injetora (ou seja, cada elemento de
mapeia para um único elemento de
sem repetições) e não sobrejetora (ou seja, existem elementos em
que não são atingidos por
). Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significam as propriedades de injetividade e sobrejetividade, e como construir uma função que atenda a esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função
é injetora se, para quaisquer
e
em
, sempre que
, então
. Basicamente, não pode haver dois elementos diferentes em
que apontem para o mesmo elemento em
.
Agora, sobre não sobrejetora, significa que existe pelo menos um elemento em
que não é imagem de nenhum elemento em
através de
. Ou seja,
.
Passo 3
Com isso em mente, vamos pensar em uma função que seja injetora. Uma das funções mais simples e injetoras é a função identidade,
. Essa função é injetora porque cada elemento de
é mapeado para ele mesmo em
, sem repetições.
No entanto, se escolhermos
, a função identidade seria também sobrejetora, já que todo número real é mapeado por algum
de
. Mas a gente precisa que a função não seja sobrejetora, então precisamos ajustar isso.
Passo 4
Para garantir que a função não seja sobrejetora, precisamos que
tenha pelo menos um elemento que não seja alcançado por
. Uma maneira simples de fazer isso é remover um elemento de
em
.
Por exemplo, vamos definir
, ou seja, todos os números reais exceto o zero.
Passo 5
Agora, vamos definir a função
. Podemos usar a função identidade
. Vamos ver se ela atende aos requisitos:
- Injetora: Sim, porque cada
em mapeia para ele mesmo em , sem repetições. - Não sobrejetora: Sim, porque o número zero está em
mas não é alcançado por , já que nunca será igual a zero se estiver em .
Passo 6
Então, a função
com
e
é uma função que satisfaz os critérios de ser injetora e não sobrejetora.
Resposta
A função
definida por
é injetora e não sobrejetora.