Achar uma função f: A B, com A e B subconjuntos de R, para cada caso abaixo:
A=R, B nsubseteq R e f injetora e não sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que achar uma função , onde e são subconjuntos dos números reais . No caso específico que vamos resolver, e também é um subconjunto de . Além disso, a função precisa ser injetora (ou seja, cada elemento de mapeia para um único elemento de sem repetições) e não sobrejetora (ou seja, existem elementos em que não são atingidos por ). Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significam as propriedades de injetividade e sobrejetividade, e como construir uma função que atenda a esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, para quaisquer e em , sempre que , então . Basicamente, não pode haver dois elementos diferentes em que apontem para o mesmo elemento em .
Agora, sobre não sobrejetora, significa que existe pelo menos um elemento em que não é imagem de nenhum elemento em através de . Ou seja, .

Passo 3

Com isso em mente, vamos pensar em uma função que seja injetora. Uma das funções mais simples e injetoras é a função identidade, . Essa função é injetora porque cada elemento de é mapeado para ele mesmo em , sem repetições.
No entanto, se escolhermos , a função identidade seria também sobrejetora, já que todo número real é mapeado por algum de . Mas a gente precisa que a função não seja sobrejetora, então precisamos ajustar isso.

Passo 4

Para garantir que a função não seja sobrejetora, precisamos que tenha pelo menos um elemento que não seja alcançado por . Uma maneira simples de fazer isso é remover um elemento de em .
Por exemplo, vamos definir , ou seja, todos os números reais exceto o zero.

Passo 5

Agora, vamos definir a função . Podemos usar a função identidade . Vamos ver se ela atende aos requisitos:
  1. Injetora: Sim, porque cada em mapeia para ele mesmo em , sem repetições.
  2. Não sobrejetora: Sim, porque o número zero está em mas não é alcançado por , já que nunca será igual a zero se estiver em .

Passo 6

Então, a função com e é uma função que satisfaz os critérios de ser injetora e não sobrejetora.

Resposta

A função definida por é injetora e não sobrejetora.

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