Dada a matriz
A=[ccc 2 & 1 & -3 0 & 2 & 1 5 & 1 & 3 ]
Calcule:
c) A^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a inversa da matriz . A matéria que vamos usar é álgebra linear, mais especificamente o conceito de matriz inversa. Para encontrar , vamos precisar calcular o determinante de e a matriz adjunta de . Se o determinante for diferente de zero, a matriz inversa existe e podemos prosseguir.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o determinante da matriz det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) . O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
A= 2 & 1 & -3 0 & 2 & 1 5 & 1 & 3
Para a nossa matriz:
det(A) = 2(2 cdot 3 - 1 cdot 1) - 1(0 cdot 3 - 1 cdot 5) + (-3)(0 cdot 1 - 2 cdot 5) = 2(6 - 1) - 1(0 - 5) - 3(0 - 10) = 2(5) - 1(-5) - 3(-10) = 10 + 5 + 30 = 45
Aplicando a fórmula:
Então, .

Passo 3

Como o determinante é diferente de zero ( CofA = C11 & C12 & C13 C21 & C22 & C23 C31 & C32 & C33 ), a inversa existe. Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de 2 & 1 1 & 3. A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores.
Primeiro, vamos calcular os cofatores de cada elemento de 0 & 1 5 & 3:
0 & 2 5 & 1
Onde cada cofator 1 & -3 1 & 3 é dado por 2 & -3 5 & 3 vezes o determinante do menor que sobra quando removemos a linha 2 & 1 5 & 1 e a coluna 1 & -3 2 & 1.
Vamos calcular cada cofator:
  • 2 & -3 0 & 1
  • 2 & 1 0 & 2
  • CofA = 5 & 5 & -10 -6 & 21 & 3 7 & -2 & 4
  • Adj(A) = CofA^T = 5 & -6 & 7 5 & 21 & -2 -10 & 3 & 4
Então, a matriz dos cofatores é:
Agora, a adjunta de é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 4

Com o determinante e a adjunta em mãos, podemos calcular a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) usando a fórmula:
A^-1 = 145 cdot 5 & -6 & 7 5 & 21 & -2 -10 & 3 & 4 = 545 & -645 & 745 545 & 2145 & -245 -1045 & 345 & 445
Substituindo os valores que encontramos:
A^-1 = 19 & -215 & 745 19 & 715 & -245 -29 & 115 & 445
Simplificando as frações:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 19 & -215 & 745 19 & 715 & -245 -29 & 115 & 445 é:

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