Sejam v1, v2 e v3 vetores li. em R^3 e sejam, u1=v1+v2, u2=v2+v3 e u3=v3+v1. Os vetores u1, u2 e u3 são li.?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre três vetores v1, v2 e v3 que são linearmente independentes em R^3. A gente definiu novos vetores u1 = v1 + v2, u2 = v2 + v3 e u3 = v3 + v1. A pergunta é: esses novos vetores u1, u2 e u3 também são linearmente independentes?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa linearmente independentes. Três vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se au1 + bu2 + cu3 = 0 implica que a = b = c = 0.

Passo 3

Vamos montar essa combinação linear com nossos vetores u1, u2 e u3. Substituindo as definições:
a(v1 + v2) + b(v2 + v3) + c(v3 + v1) = 0

Passo 4

Agora, vamos distribuir os coeficientes:
av1 + av2 + bv2 + bv3 + cv3 + cv1 = 0

Passo 5

Vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + c)v1 + (a + b)v2 + (b + c)v3 = 0

Passo 6

Como sabemos que v1, v2 e v3 são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que os coeficientes de cada vetor sejam zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
a + c = 0 a + b = 0 b + c = 0

Passo 7

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação: a = -c
  2. Da segunda equação: -c + b = 0 b = c
  3. Da terceira equação: c + c = 0 2c = 0 c = 0
Então, substituindo de volta:
  • c = 0
  • b = 0
  • a = 0

Resposta

Os vetores u1, u2 e u3 são linearmente independentes.

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