Sejam e vetores li. em e sejam, , . Os vetores são li.?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre três vetores , e que são linearmente independentes em . A gente definiu novos vetores , e . A pergunta é: esses novos vetores , e também são linearmente independentes?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa linearmente independentes. Três vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se implica que .
Passo 3
Vamos montar essa combinação linear com nossos vetores , e . Substituindo as definições:
Passo 4
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Passo 5
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Como sabemos que , e são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que os coeficientes de cada vetor sejam zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação: a = -c
Da segunda equação: -c + b = 0 → b = c
Da terceira equação: c + c = 0 → 2c = 0 → c = 0
Então, substituindo de volta:
c = 0
b = 0
a = 0
Resposta
Os vetores u1, u2 e u3 são linearmente independentes.