Seja
uma função. Dados conjuntos
e
é verdade que
Prove ou dê um contra-exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função
e dois subconjuntos
e
. A pergunta é se a seguinte igualdade é verdadeira:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são imagem e pré-imagem de uma função. A imagem de um conjunto através de
, denotada por
, é o conjunto de todos os
para
em
. Já a pré-imagem,
, é o conjunto de todos os
em
que são mapeados para algum elemento de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade:
Vamos começar pelo interior:
. Aqui, pegamos a imagem de
e depois a pré-imagem dessa imagem. Geralmente,
contém todos os elementos de
mais possivelmente alguns outros que também são mapeados para os mesmos valores que
.
Passo 3
Agora, aplicamos
em
:
Isso basicamente retorna a imagem de
, já que aplicamos
na pré-imagem da imagem de
. Em muitos casos, isso simplifica para
, mas pode incluir repetidos ou outros elementos dependendo da função.
Passo 4
Finalmente, aplicamos
novamente:
Isso pega a pré-imagem da imagem obtida no passo anterior. Dependendo das propriedades de
, como ser injetora ou sobrejetora, isso pode ou não retornar algo igual a
.
Passo 5
Agora, vamos comparar com o lado direito da igualdade:
Esse é simplesmente o conjunto de todos os
em
que são mapeados para elementos em
.
Passo 6
Para verificar se a igualdade é sempre verdadeira, vamos buscar um contra-exemplo. Seja
,
, e defina
da seguinte forma:
Escolha
e
.
Passo 7
Vamos calcular cada parte:
-
-
(já que tanto 1 quanto 2 são mapeados para ) -
-
Agora,
.
Passo 8
Neste caso específico, os dois lados são iguais:
Mas vamos ver outro exemplo para testar.
Passo 9
Considere
,
, e defina
assim:
Escolha
e
.
Passo 10
Calculando:
Por outro lado,
.
Passo 11
Aqui, vemos que:
Portanto, a igualdade não é sempre verdadeira.
Resposta
A igualdade
nem sempre é verdadeira. Existe um contra-exemplo onde os dois lados são diferentes.