Seja f: A B uma função. Dados conjuntos X subseteq A e Y subseteq B é verdade que
f^-1(f(f^-1(f(X))))=f^-1(Y) ?
Prove ou dê um contra-exemplo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função f^-1(f(f^-1(f(X)))) = f^-1(Y) e dois subconjuntos e . A pergunta é se a seguinte igualdade é verdadeira:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são imagem e pré-imagem de uma função. A imagem de um conjunto através de , denotada por , é o conjunto de todos os para em . Já a pré-imagem, , é o conjunto de todos os em que são mapeados para algum elemento de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade:
f^-1(f(f^-1(f(X))))
Vamos começar pelo interior: . Aqui, pegamos a imagem de e depois a pré-imagem dessa imagem. Geralmente, contém todos os elementos de mais possivelmente alguns outros que também são mapeados para os mesmos valores que .

Passo 3

Agora, aplicamos f(f^-1(f(X))) em :
Isso basicamente retorna a imagem de , já que aplicamos na pré-imagem da imagem de . Em muitos casos, isso simplifica para , mas pode incluir repetidos ou outros elementos dependendo da função.

Passo 4

Finalmente, aplicamos f^-1(f(f^-1(f(X)))) novamente:
Isso pega a pré-imagem da imagem obtida no passo anterior. Dependendo das propriedades de , como ser injetora ou sobrejetora, isso pode ou não retornar algo igual a .

Passo 5

Agora, vamos comparar com o lado direito da igualdade:
f^-1(Y)
Esse é simplesmente o conjunto de todos os em que são mapeados para elementos em .

Passo 6

Para verificar se a igualdade é sempre verdadeira, vamos buscar um contra-exemplo. Seja , , e defina da seguinte forma:
Escolha e .

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
  • (já que tanto 1 quanto 2 são mapeados para )
Agora, .

Passo 8

Neste caso específico, os dois lados são iguais:
f^-1(f(f^-1(f(X)))) = 1, 2 = f^-1(Y)
Mas vamos ver outro exemplo para testar.

Passo 9

Considere , , e defina assim:
Escolha e .

Passo 10

Calculando:
Por outro lado, .

Passo 11

Aqui, vemos que:
f^-1(f(f^-1(f(X)))) = 1, 2 neq 3 = f^-1(Y)
Portanto, a igualdade não é sempre verdadeira.

Resposta

A igualdade nem sempre é verdadeira. Existe um contra-exemplo onde os dois lados são diferentes.

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