Verifique que o conjunto não é uma base para . Pode-se extrair uma base para desse conjunto?
Passo 1
Entendendo o Problema
Estamos analisando o conjunto de vetores no espaço tridimensional . Queremos verificar se esse conjunto forma uma base para e, caso não forme, se é possível extrair uma base a partir dele.
Conteúdo da Matéria
Para resolver esse exercício, precisamos entender o conceito de base de um espaço vetorial e independência linear. Uma base de consiste em três vetores linearmente independentes que geram todo o espaço. Além disso, saberemos usar operações com matrizes para verificar a independência linear dos vetores.
Passo 2
Verificando se o Conjunto é uma Base
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto de vetores ser uma base de , ele precisa atender a dois critérios:
Número de Vetores: Deve haver exatamente três vetores.
Independência Linear: Os vetores não podem ser combinações lineares uns dos outros.
Nosso conjunto tem quatro vetores, o que já nos indica que ele não pode ser uma base para , já que excede o número necessário de vetores. Portanto, o conjunto não é uma base.
Passo 3
Entendendo a Independência Linear
Mesmo com o número correto de vetores, é fundamental que eles sejam linearmente independentes. Para verificar isso, podemos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos considerar os três primeiros vetores do conjunto:
Calculando o determinante dessa matriz:
det = 1 times (1 times 1 - 0 times 2) - 0 times (1 times 1 - 0 times 1) + 0 times (1 times 2 - 1 times 1) = 1 times 1 = 1
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Extraindo uma Base
Agora que sabemos que os três primeiros vetores são linearmente independentes, podemos formar uma base com eles. Assim, selecionamos o conjunto [1,1,1], [0,1,2], [0,0,1] como uma base para R^3.
Observação: O quarto vetor, [2,3,4], pode ser expresso como uma combinação linear dos três primeiros, o que confirma que não é necessário para a base.
Resposta
O conjunto [1,1,1], [0,1,2], [0,0,1], [2,3,4]não é uma base para R^3, pois contém quatro vetores e excede o número necessário. Entretanto, é possível extrair uma base desse conjunto, por exemplo, os vetores [1,1,1], [0,1,2], [0,0,1] formam uma base para R^3.