Achar os limites das funções (requer cálculos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que é:
Esse problema está ligado ao estudo de Limites, que é uma parte fundamental do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar fatoração de polinômios e entender um pouco sobre como os limites funcionam quando o denominador se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: . Isso é uma diferença de quadrados, que tem uma maneira especial de fatorar. A fórmula para fatorar uma diferença de quadrados é:
Aqui, e , porque . Então, aplicando a fórmula:

Passo 3

Agora, vamos substituir o numerador original pela fatoração que encontramos:
Olha só, o denominador não cancela diretamente com nenhum fator do numerador. Então, a gente precisa analisar o comportamento dessa expressão quando se aproxima de 2.

Passo 4

Vamos tentar substituir na expressão simplificada:
Numerador:
Denominador:
Então, temos uma situação onde o numerador é e o denominador está tendendo a 0. Isso nos indica que o limite pode ser infinito, mas precisamos ver de qual lado está chegando para saber se é ou .

Passo 5

Vamos analisar os limites laterais:
  • Quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
    • Denominador ( ) é positivo.
    • Numerador é constante (-12).
    • Então, a expressão tende a .
  • Quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
    • Denominador ( ) é negativo.
    • Numerador é constante (-12).
    • Então, a expressão tende a .

Resposta

O limite não existe porque tende a pela direita e a pela esquerda.

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Calcule a derivada de cada função utilizando a técnica adequada.
(l)
Dadas as funçöes definidas implicitamente, encontrei .
a)