Dadas as funçöes y definidas implicitamente, encontrei y'.
a) y^2 + x^2 = 2
2 y . y^i + 2 x = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar a derivada de em relação a (denotada por ) para funções definidas de forma implícita. A equação que vamos trabalhar é . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada implícita, que nos ajuda a encontrar mesmo quando não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa derivada implícita. Quando temos uma equação que relaciona e de forma que não está expressa explicitamente como uma função de , usamos a derivada implícita para encontrar . Isso envolve derivar ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma função de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação em relação a :

Passo 4

Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de : Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .
  2. Derivada de : Isso é direto, a derivada de é .
  3. Derivada de uma constante (2): A derivada de uma constante é zero.
Então, a equação derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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