Achar a maior e a menor distância de um ponto situado sobre a elipse
à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a maior e a menor distância de um ponto que está sobre a elipse
até a reta
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta. Então, vamos precisar aplicar essa fórmula e analisar como ela varia conforme o ponto se move na elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância
de um ponto
até uma reta da forma
:
No nosso caso, a reta é
, então
,
e
.
Passo 3
Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Agora, precisamos encontrar os pontos
que estão sobre a elipse
que maximizam e minimizam essa distância
.
Passo 4
Para isso, vamos utilizar o método de otimização com restrição. Podemos parametrizar a elipse para facilitar os cálculos. Sabemos que uma elipse com equação
pode ser parametrizada por:
No nosso caso,
então
, e
então
. Assim, temos:
Passo 5
Substituindo essas expressões na fórmula da distância
:
Para encontrar os valores máximos e mínimos de
, vamos analisar o numerador
.
Passo 6
O que queremos é encontrar os valores de
que maximizam e minimizam
. Podemos tratar isso como uma função trigonométrica e usar métodos de derivação ou observar os valores máximos e mínimos que a combinação
pode alcançar.
Sabemos que uma expressão da forma
pode ser reescrita como
, onde
e
. Isso ajuda a identificar o valor máximo e mínimo dessa expressão.
Passo 7
Aplicando isso à nossa expressão:
Isso significa que
varia entre
e
.
Passo 8
Portanto, a expressão
varia entre
e
. Como estamos lidando com o valor absoluto, queremos o máximo e o mínimo de
.
- O valor mínimo ocorre quando
é o mais próximo de 4. - O valor máximo ocorre quando
é o mais distante de 4, ou seja, nos extremos e .
Passo 9
Vamos analisar o valor mínimo:
Substituindo:
Para o valor máximo:
Substituindo:
Passo 10
Agora, retornando à fórmula da distância
:
Resposta
A menor distância é
unidades e a maior distância é
unidades.
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