Achar a maior e a menor distância de um ponto situado sobre a elipse à reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a maior e a menor distância de um ponto que está sobre a elipse até a reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta. Então, vamos precisar aplicar essa fórmula e analisar como ela varia conforme o ponto se move na elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto até uma reta da forma :
No nosso caso, a reta é , então , e .

Passo 3

Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Agora, precisamos encontrar os pontos que estão sobre a elipse que maximizam e minimizam essa distância .

Passo 4

Para isso, vamos utilizar o método de otimização com restrição. Podemos parametrizar a elipse para facilitar os cálculos. Sabemos que uma elipse com equação pode ser parametrizada por:
No nosso caso, então , e então . Assim, temos:

Passo 5

Substituindo essas expressões na fórmula da distância :
Para encontrar os valores máximos e mínimos de , vamos analisar o numerador .

Passo 6

O que queremos é encontrar os valores de que maximizam e minimizam . Podemos tratar isso como uma função trigonométrica e usar métodos de derivação ou observar os valores máximos e mínimos que a combinação pode alcançar.
Sabemos que uma expressão da forma pode ser reescrita como , onde e . Isso ajuda a identificar o valor máximo e mínimo dessa expressão.

Passo 7

Aplicando isso à nossa expressão:
Isso significa que varia entre e .

Passo 8

Portanto, a expressão varia entre e . Como estamos lidando com o valor absoluto, queremos o máximo e o mínimo de .
  • O valor mínimo ocorre quando é o mais próximo de 4.
  • O valor máximo ocorre quando é o mais distante de 4, ou seja, nos extremos e .

Passo 9

Vamos analisar o valor mínimo:
í
Substituindo:
Para o valor máximo:
á
Substituindo:

Passo 10

Agora, retornando à fórmula da distância :
íá

Resposta

A menor distância é unidades e a maior distância é unidades.

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