Seja
a) Mostre que possui derivada direcional, em qualquer direção, em

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas maneiras: uma quando não é o ponto e outra quando é exatamente . O objetivo aqui é mostrar que essa função tem derivadas direcionais em qualquer direção no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo que envolvem limites e derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Basicamente, ela mede como a função muda à medida que nos movemos em uma certa direção a partir de um ponto específico. Matemáticamente, a derivada direcional de na direção do vetor no ponto é dada por:
No nosso caso, queremos calcular essa derivada direcional em para qualquer direção .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função . Como , a fórmula fica:
Agora, substituímos pela expressão dada para quando :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
Podemos fatorar do denominador:

Passo 5

Agora, substituindo de volta na expressão da derivada direcional:
Quando tende a zero, o termo no denominador também tende a zero, então temos:

Passo 6

Mas atenção! Se , isso causaria uma divisão por zero. No entanto, como é um vetor de direção, ele não pode ser o vetor zero. Se , então a direção está ao longo do eixo , e podemos analisar diretamente:
Então, a derivada direcional na direção onde é:

Resposta

Portanto, a função possui derivadas direcionais em qualquer direção no ponto , sendo elas:

Exercícios relacionados

Sendo differentiável em , qual o significado geométrico para o fato de .
b) em todos os pontos.
Seja uma função duas vezes derivável em e tal que para algúm , é possível afirmar que há um zero da derivada segunda de no intervalo ?
Qual é o ponto do plano que tem a propriedade de ter como mínima a soma de sua distância ao eixo com duas vezes a sua distância ao ponto ?
Achar a maior e a menor distância de um ponto situado sobre a elipse à reta .