Seja
a) Mostre que possui
derivada direcional, em qualquer direção, em
a) Mostre que possui
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função
definida de duas maneiras: uma quando
não é o ponto
e outra quando é exatamente
. O objetivo aqui é mostrar que essa função tem derivadas direcionais em qualquer direção no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo que envolvem limites e derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Basicamente, ela mede como a função muda à medida que nos movemos em uma certa direção a partir de um ponto específico. Matemáticamente, a derivada direcional de
na direção do vetor
no ponto
é dada por:
No nosso caso, queremos calcular essa derivada direcional em
para qualquer direção
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
. Como
, a fórmula fica:
Agora, substituímos
pela expressão dada para
quando
:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Podemos fatorar
do denominador:
Passo 5
Agora, substituindo de volta na expressão da derivada direcional:
Quando
tende a zero, o termo
no denominador também tende a zero, então temos:
Passo 6
Mas atenção! Se
, isso causaria uma divisão por zero. No entanto, como
é um vetor de direção, ele não pode ser o vetor zero. Se
, então a direção está ao longo do eixo
, e podemos analisar diretamente:
Então, a derivada direcional na direção onde
é:
Resposta
Portanto, a função
possui derivadas direcionais em qualquer direção no ponto
, sendo elas:
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.
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.