Qual é o ponto do plano que tem a propriedade de ter como mínima a soma de sua distância ao eixo com duas vezes a sua distância ao ponto ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar o ponto no plano que minimiza a soma da sua distância ao eixo mais duas vezes a sua distância ao ponto . A matéria envolvida aqui é otimização de funções de duas variáveis usando fórmulas de distância. Para resolver, vamos precisar das fórmulas para calcular distâncias no plano e usar um pouco de cálculo para achar o mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as distâncias envolvidas:
  • Distância ao eixo : Qualquer ponto no plano tem sua distância ao eixo igual ao valor absoluto de , ou seja, .
  • Distância ao ponto : Usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano, que para e é .
A soma que queremos minimizar é então:

Passo 3

Para minimizar essa soma, vamos tratar essa expressão como uma função de duas variáveis . O próximo passo é encontrar os pontos onde essa função atinge seu mínimo. Isso é feito calculando as derivadas parciais em relação a e e igualando-as a zero.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a :
Igualamos a zero:
  1. Derivada parcial em relação a :
Como já encontramos que , substituímos na equação:
Para minimizar, analisamos os casos onde e .

Passo 5

Analisando :
Para que a derivada seja zero:
Isso não é possível, então verificamos :
Parece que o mínimo ocorre quando .

Resposta

O ponto que minimiza a soma das distâncias é .

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Seja
a) Mostre que possui derivada direcional, em qualquer direção, em
Sendo differentiável em , qual o significado geométrico para o fato de .
b) em todos os pontos.
Achar a maior e a menor distância de um ponto situado sobre a elipse à reta .
Resolver as inequações modulares abaixo: