Qual é o ponto
do plano que tem a propriedade de ter como mínima a soma de sua distância ao eixo
com duas vezes a sua distância ao ponto
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar o ponto
no plano que minimiza a soma da sua distância ao eixo
mais duas vezes a sua distância ao ponto
. A matéria envolvida aqui é otimização de funções de duas variáveis usando fórmulas de distância. Para resolver, vamos precisar das fórmulas para calcular distâncias no plano e usar um pouco de cálculo para achar o mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as distâncias envolvidas:
- Distância ao eixo
: Qualquer ponto no plano tem sua distância ao eixo igual ao valor absoluto de , ou seja, . - Distância ao ponto
: Usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano, que para e é .
A soma que queremos minimizar é então:
Passo 3
Para minimizar essa soma, vamos tratar essa expressão como uma função de duas variáveis
. O próximo passo é encontrar os pontos onde essa função atinge seu mínimo. Isso é feito calculando as derivadas parciais em relação a
e
e igualando-as a zero.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
Igualamos a zero:
- Derivada parcial em relação a
:
Como já encontramos que
, substituímos na equação:
Para minimizar, analisamos os casos onde
e
.
Passo 5
Analisando
:
Para que a derivada seja zero:
Isso não é possível, então verificamos
:
Parece que o mínimo ocorre quando
.
Resposta
O ponto que minimiza a soma das distâncias é
.
Exercícios relacionados
Seja
a) Mostre que possui derivada direcional, em qualquer direção, em
a) Mostre que possui
Sendo
differentiável em
, qual o significado geométrico para o fato de
.
b) em todos os pontos.
b) em todos os pontos.
Achar a maior e a menor distância de um ponto situado sobre a elipse
à reta
.
Resolver as inequações modulares abaixo: