Achar os máximos e mínimos locais de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximos e mínimos locais da função . Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar se os pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, os possíveis pontos críticos são , , e .

Passo 5

Para determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de sela, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 6

Vamos calcular para cada ponto crítico:
  1. Para :
Como e , temos um mínimo local.
  1. Para :
Como , é um ponto de sela.
  1. Para :
Novamente, , então é um ponto de sela.
  1. Para :
Aqui, e , então temos um máximo local.

Resposta

A função possui:
  • Um mínimo local em
  • Um máximo local em
  • Dois pontos de sela em e

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d)
Calcular os extremos de .
Prove que e . Se então ?
Calcule o limite, se existir:
e)