Achar os máximos e mínimos locais de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximos e mínimos locais da função
. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar se os pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, os possíveis pontos críticos são
,
,
e
.
Passo 5
Para determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de sela, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 6
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
- Para
:
Como
e
, temos um mínimo local.
- Para
:
Como
, é um ponto de sela.
- Para
:
Novamente,
, então é um ponto de sela.
- Para
:
Aqui,
e
, então temos um máximo local.
Resposta
A função
possui:
- Um mínimo local em
- Um máximo local em
- Dois pontos de sela em
e
Exercícios relacionados
d)
Calcular os extremos de
.
Prove que
e
. Se
então
?
Calcule o limite, se existir:
e)
e)