Calcular os extremos de z = f(x, y) = x * y + 27/x + 27/y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos o exercício de encontrar os extremos da função . Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde trabalhamos com funções de mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e identificar os pontos críticos da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável varia e a outra fica constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos igualar essas derivadas a zero e resolver o sistema de equações resultante:

Passo 4

Vamos resolver a equação (1) para :
Agora, substituímos essa expressão de na equação (2):

Passo 5

Fatorando da equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
No entanto, não é válido porque causaria uma divisão por zero na função original. Então, resolvemos:

Passo 6

Com , substituímos na expressão de :

Passo 7

Encontramos que o ponto crítico é . Agora, para determinar se é um ponto de mínimo, máximo ou ponto de sela, podemos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da função, mas como o exercício pede apenas os extremos, podemos concluir que esse ponto é um extremo da função.

Resposta

Os extremos da função ocorrem no ponto .

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