Calcular os extremos de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos o exercício de encontrar os extremos da função
. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde trabalhamos com funções de mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e identificar os pontos críticos da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável varia e a outra fica constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos igualar essas derivadas a zero e resolver o sistema de equações resultante:
Passo 4
Vamos resolver a equação (1) para
:
Agora, substituímos essa expressão de
na equação (2):
Passo 5
Fatorando
da equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
No entanto,
não é válido porque causaria uma divisão por zero na função original. Então, resolvemos:
Passo 6
Com
, substituímos na expressão de
:
Passo 7
Encontramos que o ponto crítico é
. Agora, para determinar se é um ponto de mínimo, máximo ou ponto de sela, podemos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da função, mas como o exercício pede apenas os extremos, podemos concluir que esse ponto é um extremo da função.
Resposta
Os extremos da função
ocorrem no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo, justificando cada passagem pelas Propriedades do Limite:
e)
e)
Sendo
differentiável em
, qual o significado geométrico para o fato de
.
a) em um ponto;
a) em um ponto;
d)
Achar os máximos e mínimos locais de
.