Prove que
e
. Se
então
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que as derivadas direcionais nas direções dos vetores
e
são iguais às derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Além disso, se a derivada direcional na direção de um vetor
no ponto
é igual a
, queremos descobrir o que isso significa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas direcionais e parciais, e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, mede a taxa de variação de
quando
varia, mantendo
constante. Similarmente,
mede a taxa de variação de
quando
varia, mantendo
constante.
Passo 3
Agora, a derivada direcional de
na direção de um vetor
no ponto
é dada por:
Isso significa que a derivada direcional é uma combinação linear das derivadas parciais, ponderada pelos componentes do vetor direção.
Passo 4
Vamos aplicar isso para os vetores
e
. Primeiro, para
:
Ou seja, a derivada direcional na direção de
é exatamente a derivada parcial em relação a
.
Passo 5
Fazendo o mesmo para
:
Assim, a derivada direcional na direção de
é a derivada parcial em relação a
.
Passo 6
Agora, para a segunda parte da questão. Se a derivada direcional na direção de
no ponto
é igual a
, ou seja,
, isso significa que a taxa de variação de
na direção de
nesse ponto é
.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Achar os máximos e mínimos locais de
.
d)
Calcule o limite, se existir:
e)
e)
Se
, calcule a derivada direcional de
na direção
no ponto
.