Prove que D_i f(a, b) = f_x(a, b) e D_j f(a, b) = f_y(a, b). Se D_v f(P_0) = k então D_v f(P_0) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que as derivadas direcionais nas direções dos vetores i e vec(j) são iguais às derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente. Além disso, se a derivada direcional na direção de um vetor v no ponto é igual a k, queremos descobrir o que isso significa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas direcionais e parciais, e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de f em relação a x, denotada por , mede a taxa de variação de f quando x varia, mantendo y constante. Similarmente, mede a taxa de variação de f quando y varia, mantendo x constante.

Passo 3

Agora, a derivada direcional de f na direção de um vetor no ponto (a, b) é dada por:
Isso significa que a derivada direcional é uma combinação linear das derivadas parciais, ponderada pelos componentes do vetor direção.

Passo 4

Vamos aplicar isso para os vetores e . Primeiro, para i:
Ou seja, a derivada direcional na direção de i é exatamente a derivada parcial em relação a x.

Passo 5

Fazendo o mesmo para vec(j):
Assim, a derivada direcional na direção de vec(j) é a derivada parcial em relação a y.

Passo 6

Agora, para a segunda parte da questão. Se a derivada direcional na direção de v no ponto é igual a k, ou seja, , isso significa que a taxa de variação de f na direção de v nesse ponto é k.

Resposta

Portanto, .

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