Prove que e . Se então ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que as derivadas direcionais nas direções dos vetores e são iguais às derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Além disso, se a derivada direcional na direção de um vetor no ponto é igual a , queremos descobrir o que isso significa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas direcionais e parciais, e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a , denotada por , mede a taxa de variação de quando varia, mantendo constante. Similarmente, mede a taxa de variação de quando varia, mantendo constante.

Passo 3

Agora, a derivada direcional de na direção de um vetor no ponto é dada por:
Isso significa que a derivada direcional é uma combinação linear das derivadas parciais, ponderada pelos componentes do vetor direção.

Passo 4

Vamos aplicar isso para os vetores e . Primeiro, para :
Ou seja, a derivada direcional na direção de é exatamente a derivada parcial em relação a .

Passo 5

Fazendo o mesmo para :
Assim, a derivada direcional na direção de é a derivada parcial em relação a .

Passo 6

Agora, para a segunda parte da questão. Se a derivada direcional na direção de no ponto é igual a , ou seja, , isso significa que a taxa de variação de na direção de nesse ponto é .

Resposta

Portanto, .

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Achar os máximos e mínimos locais de .
d)
Calcule o limite, se existir:
e)
Se , calcule a derivada direcional de na direção no ponto .