d) lim x pi2 sen(cos (x))cos (x)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites em trigonometria, especificamente envolvendo as funções seno e cosseno. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de e como isso afeta a expressão inteira.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Sabemos que . Então, quando se aproxima de , se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, substituímos por 0 na função seno: . Como está se aproximando de 0, temos .

Passo 4

Portanto, a expressão original fica:
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos usar uma ferramenta matemática para resolver, como a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma fração quando ambos o numerador e o denominador tendem a 0 ou infinito.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a ddx sen(cos(x)) = cos(cos(x)) cdot (-sen(x)) :
  • Derivada do numerador em relação a ddx cos(x) = -sen(x) :
  • Derivada do denominador em relação a :

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Os termos se cancelam.

Passo 7

Finalmente, substituímos cos(cos(pi2)) = cos(0) = 1 por na função :

Resposta

O limite é igual a 1.

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