d)
Passo 1
Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites em trigonometria, especificamente envolvendo as funções seno e cosseno. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de
e como isso afeta a expressão inteira.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Sabemos que
. Então, quando
se aproxima de
,
se aproxima de 0.
Passo 3
Agora, substituímos
por 0 na função seno: . Como
está se aproximando de 0, temos .
Passo 4
Portanto, a expressão original fica:
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos usar uma ferramenta matemática para resolver, como a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma fração quando ambos o numerador e o denominador tendem a 0 ou infinito.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
-
Derivada do numerador em relação a
: -
Derivada do denominador
em relação a :
Passo 6
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Os termos se cancelam.
Passo 7
Finalmente, substituímos
por
na função
:
Resposta
O limite é igual a 1.
Exercícios relacionados
Calcular os extremos de
.
Calcule os limites abaixo, justificando cada passagem pelas Propriedades do Limite:
e)
e)
Achar os máximos e mínimos locais de
.
Prove que
e
. Se
então
?