d)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites em trigonometria, especificamente envolvendo as funções seno e cosseno. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de e como isso afeta a expressão inteira.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Sabemos que . Então, quando se aproxima de , se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, substituímos por 0 na função seno: . Como está se aproximando de 0, temos .

Passo 4

Portanto, a expressão original fica:
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos usar uma ferramenta matemática para resolver, como a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma fração quando ambos o numerador e o denominador tendem a 0 ou infinito.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a :
  • Derivada do numerador em relação a :
  • Derivada do denominador em relação a :

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Os termos se cancelam.

Passo 7

Finalmente, substituímos por na função :

Resposta

O limite é igual a 1.

Exercícios relacionados

Calcular os extremos de .
Calcule os limites abaixo, justificando cada passagem pelas Propriedades do Limite:
e)
Achar os máximos e mínimos locais de .
Prove que e . Se então ?