Reduzir a equação dada à forma normal, determinar o comprimento e os ângulos directores da normal, em cada uma das seguintes alíneas: c) 6 x+6 y+7 z-22=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para transformar a equação para a forma normal. Além disso, precisamos encontrar o comprimento e os ângulos directores da normal dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a forma normal de uma equação de plano. A forma normal é uma maneira de escrever a equação do plano onde o coeficiente de , e é 1, e o lado direito da equação representa a distância do plano à origem.
Para converter para a forma normal, precisamos dividir todos os termos da equação pelo comprimento do vetor normal.

Passo 3

O vetor normal de um plano é o vetor cujos componentes são os coeficientes de |n| = raiza^2 + b^2 + c^2 , |n| = raiz6^2 + 6^2 + 7^2 = raiz36 + 36 + 49 = raiz121 = 11 e na equação do plano. No nosso caso, o vetor normal é .
O comprimento desse vetor, que também chamamos de norma, é calculado usando a fórmula:
Onde , e são os coeficientes de , e respectivamente.
Calculando:

Passo 4

Agora que temos o comprimento do vetor normal, podemos dividir todos os coeficientes da equação original por 11 para obter a forma normal:
611x + 611y + 711z - 2211 = 0
Simplificando:
611x + 611y + 711z = 2

Passo 5

Para encontrar os ângulos directores da normal, usamos as funções trigonométricas que relacionam os componentes do vetor normal com o comprimento do vetor. Os ângulos directores cosalpha = a|n|, cosbeta = b|n|, cosgamma = c|n| , cosalpha = 611, cosbeta = 611, cosgamma = 711 e alpha = arccos(611), beta = arccos(611), gamma = arccos(711) são os ângulos que a normal forma com os eixos , e , respectivamente.
As fórmulas para os cossenos directionais são:
Onde , , e .
Calculando:
Agora, para encontrar os ângulos:

Resposta

A forma normal da equação é . O comprimento do vetor normal é 11, e os ângulos directores são , e .

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