Achar uma representação por meio de série de potências da função, calcular a integral indefinida como una série de potências e determinar o intervalo de convergência.
integral t1-t^8 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função , calcular a integral indefinida dessa série e descobrir o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e integração de séries termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da série geométrica:
11 - x = sumn=0^infty x^n para |x| < 1
Aqui, nossa função é t1 - t^8 = t cdot 11 - t^8 . Podemos reescrever isso como:
11 - t^8 = sumn=0^infty t^8n para |t^8| < 1 Rightarrow |t| < 1
Agora, substituímos t1 - t^8 = t cdot sumn=0^infty t^8n = sumn=0^infty t^8n + 1 por na série geométrica:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral indefinida dessa série:
integral t1 - t^8 , dt = integral sumn=0^infty t^8n + 1 , dt
Podemos integrar termo a termo, já que a série converge para integral sumn=0^infty t^8n + 1 , dt = sumn=0^infty integral t^8n + 1 , dt :
sumn=0^infty t^8n + 28n + 2 + C
Integrando cada termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Por fim, vamos determinar o intervalo de convergência da série. Sabemos que usamos a série geométrica que converge para |t| < 1 . Portanto, a série resultante da integral também converge nesse intervalo:

Resposta

A representação por meio de série de potências da integral é:
integral t1 - t^8 , dt = sumn=0^infty t^8n + 28n + 2 + C para |t| < 1

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