Achar uma representação por meio de série de potências da função, calcular a integral indefinida como una série de potências e determinar o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função
, calcular a integral indefinida dessa série e descobrir o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e integração de séries termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da série geométrica:
Aqui, nossa função é
. Podemos reescrever isso como:
Agora, substituímos
por
na série geométrica:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral indefinida dessa série:
Podemos integrar termo a termo, já que a série converge para
:
Integrando cada termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Por fim, vamos determinar o intervalo de convergência da série. Sabemos que usamos a série geométrica que converge para
. Portanto, a série resultante da integral também converge nesse intervalo:
Resposta
A representação por meio de série de potências da integral é:
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Determine a série de Taylor gerada pela
em
Calcule os limites a seguir:
a)
a)
Calcule as seguintes integrais indefinidas utilizam o Método da Integração por Partes.
Calcule as seguintes integrais definidas.