Achar uma representação por meio de série de potências da função, calcular a integral indefinida como una série de potências e determinar o intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função , calcular a integral indefinida dessa série e descobrir o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e integração de séries termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da série geométrica:
Aqui, nossa função é . Podemos reescrever isso como:
Agora, substituímos por na série geométrica:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral indefinida dessa série:
Podemos integrar termo a termo, já que a série converge para :
Integrando cada termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Por fim, vamos determinar o intervalo de convergência da série. Sabemos que usamos a série geométrica que converge para . Portanto, a série resultante da integral também converge nesse intervalo:

Resposta

A representação por meio de série de potências da integral é:

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a)
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