Determine a série de Taylor gerada pela em

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Taylor da função em torno do ponto . A gente vai usar o conceito de série de Taylor, que é uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de e avaliar elas no ponto .

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a série de Taylor de uma função em torno de é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de e substituir na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de . Sabemos que a derivada de em qualquer ordem é ela mesma:
Então, avaliando em :

Passo 4

Agora, substituímos os valores encontrados na fórmula da série de Taylor:
Isso já é a expressão da série de Taylor para em torno de .

Resposta

A série de Taylor gerada por em é:

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir:
a)
Achar uma representação por meio de séries de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
Achar uma representação por meio de série de potências da função, calcular a integral indefinida como una série de potências e determinar o intervalo de convergência.
Calcule as seguintes integrais indefinidas utilizam o Método da Integração por Partes.