Determine a série de Taylor gerada pela f em x = a
f(x) = e^x, a = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Taylor da função em torno do ponto . A gente vai usar o conceito de série de Taylor, que é uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de e avaliar elas no ponto .

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a série de Taylor de uma função em torno de é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de e substituir na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de . Sabemos que a derivada de em qualquer ordem é ela mesma:
Então, avaliando em :

Passo 4

Agora, substituímos os valores encontrados na fórmula da série de Taylor:
Isso já é a expressão da série de Taylor para em torno de .

Resposta

A série de Taylor gerada por em é:

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