Calcule as seguintes integrais definidas. integral-1^1 x^2 d xraizx^3+9 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integral-1^1 x^2 , dxraizx^3 + 9. Essa integral faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição adequada que torne a integral mais simples de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar a expressão. Observamos que o denominador contém raizx^3 + 9. Isso sugere que podemos definir:
u = x^3 + 9
Essa substituição nos ajudará a transformar a integral em termos de u, o que facilitará a resolução.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Calculando a derivada:
dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 , dx
Podemos resolver para x^2 , dx:
x^2 , dx = du3

Passo 4

Substituindo u e x^2 , dx na integral original, temos:
integral-1^1 x^2 , dxraizx^3 + 9 = integralu(-1)^u(1) du3raizu = 13 integralu(-1)^u(1) u^-12 , du
Agora, precisamos calcular os novos limites de integração em termos de u.

Passo 5

Calculando os limites de integração:
Para x = -1:
u = (-1)^3 + 9 = -1 + 9 = 8
Para x = 1:
u = (1)^3 + 9 = 1 + 9 = 10
Portanto, os novos limites de integração são de u = 8 a u = 10.

Passo 6

A integral agora está simplificada para:
13 integral8^10 u^-12 , du
Vamos integrar u^-12 em relação a u. A regra da potência para integrais nos diz que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (onde n neq -1 )
Aplicando essa regra com n = -12:
integral u^-12 , du = u^1212 + C = 2u^12 + C = 2raizu + C

Passo 7

Substituindo a antiderivada de volta na integral:
13 [ 2raizu ]8^10 = 23 ( raiz10 - raiz8 )
Podemos simplificar raiz8:
raiz8 = 2raiz2
Portanto, a expressão final fica:
23 ( raiz10 - 2raiz2 )

Resposta

O valor da integral é 23 ( raiz10 - 2raiz2 ).

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