Calcule as seguintes integrais definidas.
Passo 1
Vamos calcular a integral definida
. Essa integral faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição adequada que torne a integral mais simples de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar a expressão. Observamos que o denominador contém
. Isso sugere que podemos definir:
Essa substituição nos ajudará a transformar a integral em termos de
, o que facilitará a resolução.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Calculando a derivada:
Podemos resolver para
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Agora, precisamos calcular os novos limites de integração em termos de
.
Passo 5
Calculando os limites de integração:
Para
:
Para
:
Portanto, os novos limites de integração são de
a
.
Passo 6
A integral agora está simplificada para:
Vamos integrar
em relação a
. A regra da potência para integrais nos diz que:
Aplicando essa regra com
:
Passo 7
Substituindo a antiderivada de volta na integral:
Podemos simplificar
:
Portanto, a expressão final fica:
Resposta
O valor da integral é
.
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