Calcule as seguintes integrais definidas.

Passo 1

Vamos calcular a integral definida . Essa integral faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição adequada que torne a integral mais simples de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar a expressão. Observamos que o denominador contém . Isso sugere que podemos definir:
Essa substituição nos ajudará a transformar a integral em termos de , o que facilitará a resolução.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Calculando a derivada:
Podemos resolver para :

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
Agora, precisamos calcular os novos limites de integração em termos de .

Passo 5

Calculando os limites de integração:
Para :
Para :
Portanto, os novos limites de integração são de a .

Passo 6

A integral agora está simplificada para:
Vamos integrar em relação a . A regra da potência para integrais nos diz que:
Aplicando essa regra com :

Passo 7

Substituindo a antiderivada de volta na integral:
Podemos simplificar :
Portanto, a expressão final fica:

Resposta

O valor da integral é .

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