Calcule as seguintes integrais indefinidas utilizam o Método da Integração por Partes. integral x^5 cdot e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral indefinida usando o Método da Integração por Partes. Esse método é uma técnica de cálculo que nos ajuda a integrar produtos de funções, dividindo-as em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = x^4 Rightarrow du = 4x^3 , dx e dv = x cdot e^x^2 , dx Rightarrow v = 12 e^x^2 . Geralmente, escolhemos como a função que simplifica quando derivada e como a parte restante.
Aqui, vou escolher:

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^5 cdot e^x^2 , dx = integral x^4 cdot x cdot e^x^2 , dx = u cdot v - integral v cdot du
= x^4 cdot 12 e^x^2 - integral 12 e^x^2 cdot 4x^3 , dx
= x^42 e^x^2 - 2 integral x^3 e^x^2 , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes.
Escolhendo:
dv = x cdot e^x^2 , dx Rightarrow v = 12 e^x^2
integral x^3 e^x^2 , dx = x^2 cdot 12 e^x^2 - integral 12 e^x^2 cdot 2x , dx
Aplicando a fórmula:
= x^22 e^x^2 - integral x e^x^2 , dx

Passo 5

A integral integral x e^x^2 , dx = 12 e^x^2 + C é direta:
integral x^3 e^x^2 , dx = x^22 e^x^2 - 12 e^x^2 = (x^22 - 12) e^x^2
Então, voltando:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral x^5 e^x^2 , dx = x^42 e^x^2 - 2 (x^22 - 12) e^x^2
= x^42 e^x^2 - (x^2 - 1) e^x^2
= (x^42 - x^2 + 1) e^x^2 + C

Resposta

A integral (x^42 - x^2 + 1) e^x^2 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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