Achar uma representação por meio de séries de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma representação da função usando séries de potências e também determinar o intervalo de convergência dessa série. Isso envolve conhecimentos de séries geométricas e análise de convergência. Vamos precisar lembrar como expandir frações do tipo em série e saber para quais valores de essa expansão é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte . Isso se parece muito com a forma da série geométrica, que é quando . Aqui, nosso “r” é . Então, podemos escrever:
Essa é a expansão em série geométrica para .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa série por para obter :
Podemos simplificar isso multiplicando por cada termo da série:

Passo 4

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Lembrando que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então temos:
Portanto, a série que encontramos converge para todos os cujo valor absoluto é menor que .

Resposta

A representação por meio de séries de potências da função é:
E o intervalo de convergência dessa série é:

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Calcule.
Calcule os limites a seguir:
a)
Determine a série de Taylor gerada pela em