Achar uma representação por meio de séries de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma representação da função
usando séries de potências e também determinar o intervalo de convergência dessa série. Isso envolve conhecimentos de séries geométricas e análise de convergência. Vamos precisar lembrar como expandir frações do tipo
em série e saber para quais valores de
essa expansão é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte
. Isso se parece muito com a forma da série geométrica, que é
quando
. Aqui, nosso “r” é
. Então, podemos escrever:
Essa é a expansão em série geométrica para
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa série por
para obter
:
Podemos simplificar isso multiplicando
por cada termo da série:
Passo 4
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Lembrando que a série geométrica
converge quando
. No nosso caso,
, então temos:
Portanto, a série que encontramos converge para todos os
cujo valor absoluto é menor que
.
Resposta
A representação por meio de séries de potências da função
é:
E o intervalo de convergência dessa série é:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais indefinidas utilizam o Método da Substituição Simples.
Calcule.
Calcule os limites a seguir:
a)
a)
Determine a série de Taylor gerada pela
em