Calcule. integral tan ^-1(4 t) d t

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral de tan^-1(4t) em relação a t. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de Técnicas de Integração. Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto da derivada e é usada quando a integral é um produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Vamos escolher quais partes da nossa integral vão ser u e dv. Aqui, vamos deixar:
  • u = tan^-1(4t)
  • dv = dt

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v. Para du, derivamos u em relação a t:
du = ddt tan^-1(4t) , dt = 41 + (4t)^2 , dt
Para v, integramos dv:
v = integral dt = t

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral tan^-1(4t) , dt = u , v - integral v , du
Substituindo:
= t , tan^-1(4t) - integral t cdot 41 + 16t^2 , dt

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda integral:
integral 4t1 + 16t^2 , dt
Vamos fazer uma substituição simples. Deixe w = 1 + 16t^2, então dw = 32t , dt ou seja, t , dt = dw32. A integral fica:
= 4 cdot 132 integral 1w , dw = 18 ln|w| + C = 18 ln(1 + 16t^2) + C

Resposta

Portanto, a integral de tan^-1(4t) em relação a t é:
integral tan^-1(4t) , dt = t , tan^-1(4t) - 18 ln(1 + 16t^2) + C

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