Achar o(s) vetor(es) v=(x, y, z) tais que: 1) |v|=raiz6 2) vé ortogonal a u=(3,-3,0); 3) v é ortogonal a w=(0,2,-1).

Passo 1

Vamos resolver um problema de álgebra vetorial. Precisamos encontrar um vetor que satisfaça três condições:
  1. O módulo de é .
  2. é ortogonal a .
  3. é ortogonal a .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de módulo de vetor e ortogonalidade, que envolve o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o módulo de um vetor |v| = raizx^2 + y^2 + z^2 é dado por:
raizx^2 + y^2 + z^2 = raiz6
De acordo com a primeira condição, temos:
x^2 + y^2 + z^2 = 6
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos tratar da ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de v cdot u = 3x - 3y + 0z = 0 e 3x - 3y = 0 Rightarrow x = y é:
Simplificando:

Passo 4

Fazendo o mesmo com v cdot w = 0x + 2y - 1z = 0 e 2y - z = 0 Rightarrow z = 2y :
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos x^2 + y^2 + z^2 = 6 Rightarrow y^2 + y^2 + (2y)^2 = 6 e y^2 + y^2 + 4y^2 = 6 Rightarrow 6y^2 = 6 na equação do módulo:
y^2 = 1 Rightarrow y = pm 1
Calculando:
Dividindo ambos os lados por 6:

Passo 6

Finalmente, encontramos os valores de cada componente:
  • Se x = 1, z = 2(1) = 2 Rightarrow v = (1, 1, 2) : x = -1, z = 2(-1) = -2 Rightarrow v = (-1, -1, -2)
  • Se :

Resposta

Os vetores que satisfazem as condições são e .

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