Sendo |u|=2,|v|=3,|w|=4, widehatu v=90^circ e widehatv w=30^circ, calcular: OBS.: u, v e w são coplanares. (u+v) (u-v)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos três vetores coplanares: com magnitude 2, com magnitude 3, e com magnitude 4. Além disso, o ângulo entre e é de , e o ângulo entre e é de . Precisamos calcular o produto escalar de com , ou seja, .

Passo 2

Vamos lembrar o que é produto escalar (ou produto interno). O produto escalar entre dois vetores a cdot b = |a| times |b| times cos(theta) e é dado por:
onde e são as magnitudes dos vetores e é o ângulo entre eles.

Passo 3

Mas, para simplificar o cálculo de (u + v) cdot (u - v) = u cdot u - u cdot v + v cdot u - v cdot v , vamos usar a propriedade distributiva do produto escalar. Ou seja:

Passo 4

Sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo, por exemplo u cdot u = |u|^2 , é igual ao quadrado da sua magnitude:
E também que .

Passo 5

Substituindo essas informações na expressão:
(u + v) cdot (u - v) = |u|^2 - u cdot v + u cdot v - |v|^2
Note que (u + v) cdot (u - v) = |u|^2 - |v|^2 se cancelam:

Passo 6

Agora, basta substituir os valores das magnitudes:
|u| = 2 Rightarrow |u|^2 = 4
|v| = 3 Rightarrow |v|^2 = 9
Portanto:
(u + v) cdot (u - v) = 4 - 9 = -5

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados