Dados u=2 i, v=i+j+k e w=-2 i+6 j+6 k, exprimir w como combinação linear de u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso se trata de combinação linear, que é quando você multiplica cada vetor por um número (coeficiente) e soma os resultados para chegar no vetor desejado. Para resolver, vamos precisar encontrar esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação geral da combinação linear:
w = a cdot u + b cdot v
Substituindo os valores de -2i + 6j + 6k = a cdot (2i) + b cdot (i + j + k) e :

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes -2i + 6j + 6k = 2a cdot i + b cdot i + b cdot j + b cdot k e -2i + 6j + 6k = (2a + b)i + b j + b k :
Juntando os termos semelhantes:

Passo 4

Para que os vetores sejam iguais, os coeficientes de 2a + b = -2 b = 6 b = 6 , e precisam ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Como já está definido pelas outras duas equações, podemos usar isso para encontrar .

Passo 5

Substituindo 2a + 6 = -2 2a = -2 - 6 2a = -8 a = -4 na primeira equação:

Resposta

Então, o vetor w = -4u + 6v pode ser expresso como:

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