Calcular a altura relativa ao vértice do triângulo de vértices e .
Passo 1
Beleza, o enunciado nos dá um triângulo com os vértices nos pontos , e . A gente precisa calcular a altura relativa ao vértice , ou seja, a altura que parte do vértice e é perpendicular ao lado . Para isso, vamos usar vetores e o produto vetorial para encontrar a área do triângulo e, assim, determinar a altura.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor que representa o lado . Para achar esse vetor, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor que vai de até , que é o vetor :
Passo 4
Com os vetores e em mãos, vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores nos dá um vetor perpendicular aos dois, e o módulo desse vetor é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores. A fórmula do produto vetorial é:
Calculando o determinante:
= i(-12) - j(20) + k(-16)
= (-12, -20, -16)
Passo 5
O módulo do produto vetorial nos dá a área do paralelogramo:
Sabemos que a área de um triângulo também pode ser calculada pela fórmula:
Área = 12 times Base times AÁ
Aqui, a base é o comprimento do lado |AC| = raiz4^2 + (-4)^2 + 2^2 = raiz16 + 16 + 4 = raiz36 = 6 e a altura é a que estamos procurando (a altura relativa a 10raiz2 = 12 times 6 times h ). Primeiro, vamos calcular o comprimento de 10raiz2 = 3h implies h = 10raiz23 :