Calcular a altura relativa ao vértice B do triângulo de vértices A=(2,4,0), B=(0,2,4) e C=(6,0,2).

Passo 1

Beleza, o enunciado nos dá um triângulo com os vértices nos pontos , e . A gente precisa calcular a altura relativa ao vértice , ou seja, a altura que parte do vértice e é perpendicular ao lado . Para isso, vamos usar vetores e o produto vetorial para encontrar a área do triângulo e, assim, determinar a altura.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor que representa o lado AC = C - A = (6 - 2, 0 - 4, 2 - 0) = (4, -4, 2) . Para achar esse vetor, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor que vai de AB = B - A = (0 - 2, 2 - 4, 4 - 0) = (-2, -2, 4) até , que é o vetor :

Passo 4

Com os vetores AC times AB = i & j & k 4 & -4 & 2 -2 & -2 & 4 e AC times AB = i((-4)(4) - (2)(-2)) - j((4)(4) - (2)(-2)) + k((4)(-2) - (-4)(-2)) em mãos, vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores nos dá um vetor perpendicular aos dois, e o módulo desse vetor é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores. A fórmula do produto vetorial é:
= i(-16 + 4) - j(16 + 4) + k(-8 - 8)
Calculando o determinante:
= i(-12) - j(20) + k(-16)
= (-12, -20, -16)

Passo 5

O módulo do produto vetorial nos dá a área do paralelogramo:
|AC times AB| = raiz(-12)^2 + (-20)^2 + (-16)^2 = raiz144 + 400 + 256 = raiz800 = 20raiz2
Como a área do triângulo é metade dessa área:
Área do triângulo = 12 times 20raiz2 = 10raiz2 Áâ

Passo 6

Sabemos que a área de um triângulo também pode ser calculada pela fórmula:
Área = 12 times Base times AÁ
Aqui, a base é o comprimento do lado |AC| = raiz4^2 + (-4)^2 + 2^2 = raiz16 + 16 + 4 = raiz36 = 6 e a altura é a que estamos procurando (a altura relativa a 10raiz2 = 12 times 6 times h ). Primeiro, vamos calcular o comprimento de 10raiz2 = 3h implies h = 10raiz23 :
Agora, substituindo na fórmula da área:
Resolvendo para :

Resposta

A altura relativa ao vértice é unidades.

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