Achar, sempre que possível, as matrizes inversas das matrizes dadas:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a matriz inversa da matriz B = 1 & 2 & 3 2 & 3 & 5 3 & 4 & 2 :
Esse problema está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes inversas. Para encontrar a matriz inversa, vamos precisar calcular o determinante da matriz , a matriz dos cofatores, transpor essa matriz de cofatores (o que resulta na adjunta) e, por fim, multiplicar a adjunta pelo inverso do determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(B) = 1 times (3 times 2 - 5 times 4) - 2 times (2 times 2 - 5 times 3) + 3 times (2 times 4 - 3 times 3) . O determinante nos ajuda a saber se a matriz é inversível (ou seja, se ela tem uma inversa). Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa.
Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado da seguinte forma:
Vamos calcular cada parte passo a passo.
Passo 3
Calculando cada termo individualmente:
Para o primeiro termo:
1 times (3 times 2 - 5 times 4) = 1 times (6 - 20) = 1 times (-14) = -14
Para o segundo termo:
-2 times (2 times 2 - 5 times 3) = -2 times (4 - 15) = -2 times (-11) = 22
Para o terceiro termo:
3 times (2 times 4 - 3 times 3) = 3 times (8 - 9) = 3 times (-1) = -3
Agora, somamos todos esses resultados para encontrar o determinante:
det(B) = -14 + 22 - 3 = 5
Passo 4
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é inversível. Agora, vamos encontrar a matriz inversa .
Para isso, precisamos calcular a matriz dos cofatores de , depois transpor essa matriz (resultando na adjunta) e, finalmente, multiplicar a adjunta pelo inverso do determinante.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular os cofatores de cada elemento da matriz C11 = (+1) times 3 & 5 4 & 2 = (+1) times (3 times 2 - 5 times 4) = 6 - 20 = -14 . Cada cofactor é calculado removendo-se a linha e a coluna do elemento considerado e calculando o determinante da submatriz resultante, multiplicado por C12 = (-1) times 2 & 5 3 & 2 = (-1) times (2 times 2 - 5 times 3) = (-1) times (4 - 15) = 11 , onde C13 = (+1) times 2 & 3 3 & 4 = (+1) times (2 times 4 - 3 times 3) = 8 - 9 = -1 e são as posições do elemento.
Vamos calcular cada cofactor:
Cofator (linha 1, coluna 1):
Cofator (linha 1, coluna 2):
Cofator (linha 1, coluna 3):
Passo 6
Agora, calculamos os cofatores das demais posições:
Cofator C21 = (-1) times 2 & 3 4 & 2 = (-1) times (2 times 2 - 3 times 4) = (-1) times (4 - 12) = 8 (linha 2, coluna 1):
C22 = (+1) times 1 & 3 3 & 2 = (+1) times (1 times 2 - 3 times 3) = 2 - 9 = -7
Cofator C23 = (-1) times 1 & 2 3 & 4 = (-1) times (1 times 4 - 2 times 3) = (-1) times (4 - 6) = 2 (linha 2, coluna 2):
C31 = (+1) times 2 & 3 3 & 5 = (+1) times (2 times 5 - 3 times 3) = 10 - 9 = 1
Cofator C32 = (-1) times 1 & 3 2 & 5 = (-1) times (1 times 5 - 3 times 2) = (-1) times (5 - 6) = 1 (linha 2, coluna 3):
C33 = (+1) times 1 & 2 2 & 3 = (+1) times (1 times 3 - 2 times 2) = 3 - 4 = -1
Cofator (linha 3, coluna 1):
Cofator (linha 3, coluna 2):
Cofator (linha 3, coluna 3):
Passo 7
Com todos os cofatores calculados, formamos a matriz dos cofatores C = -14 & 11 & -1 8 & -7 & 2 1 & 1 & -1 :