Encontre uma transformação linear G: R^4 R^3 cujo núcleo seja gerado por (1,2,3,4) e(0,1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma transformação linear cujo núcleo (ou seja, o conjunto de vetores que manda para o zero) é gerado pelos vetores e . Então, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e espaços vetoriais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Aqui, como vai de para , a matriz correspondente será de tamanho . Nosso objetivo é construir essa matriz de forma que os vetores e estejam no núcleo dela.

Passo 3

Sabemos que se um vetor está no núcleo de , então . Isso significa que quando multiplicamos a matriz de por esses vetores, o resultado deve ser o vetor zero em . Vamos chamar os vetores de e .

Passo 4

Vamos montar equações a partir dessa condição. Seja a matriz G = g11 & g12 & g13 & g14 g21 & g22 & g23 & g24 g31 & g32 & g33 & g34 composta por três linhas G v1 = g11(1) + g12(2) + g13(3) + g14(4) = 0 , cada uma com quatro elementos:
G v2 = g21(0) + g22(1) + g23(1) + g24(1) = 0
Então, para G v3 = g31(0) + g32(1) + g33(1) + g34(1) = 0 :

Passo 5

Na verdade, como tem três linhas, precisamos garantir que cada uma delas, quando multiplicada por e , resulte em zero. Isso gera um sistema de equações para os elementos de . Resolvendo esse sistema, encontraremos as condições que os elementos de devem satisfazer.

Passo 6

Vamos simplificar. Para cada linha gi1(1) + gi2(2) + gi3(3) + gi4(4) = 0 (para v1 ) de gi1(0) + gi2(1) + gi3(1) + gi4(1) = 0 (para v2 ) :
Isso nos dá dois sistemas de equações para cada linha :

Passo 7

Resolvendo o segundo sistema para gi4 = -gi2 - gi3 :
gi1 + 2gi2 + 3gi3 + 4(-gi2 - gi3) = 0 gi1 + 2gi2 + 3gi3 - 4gi2 - 4gi3 = 0 gi1 - 2gi2 - gi3 = 0 gi1 = 2gi2 + gi3
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Agora, podemos expressar os elementos de cada linha gi1 = 2gi2 + gi3 gi4 = -gi2 - gi3 em termos de gi = 2gi2 + gi3 & gi2 & gi3 & -gi2 - gi3 e :
Isso significa que cada linha pode ser escrita como:

Passo 9

Para simplificar, podemos escolher valores arbitrários para gi = 2a + b & a & b & -a - b e . Por exemplo, podemos definir e . Assim, cada linha fica:

Passo 10

Finalmente, podemos escolher valores específicos para g1 = 2 & 1 & 0 & -1 e g2 = 1 & 0 & 1 & -1 para construir uma matriz g3 = 3 & 1 & 1 & -2 válida. Uma escolha simples é:
Para a primeira linha, escolher e :
Para a segunda linha, escolher e :
E para a terceira linha, podemos escolher e :

Resposta

Uma possível transformação linear G = 2 & 1 & 0 & -1 1 & 0 & 1 & -1 3 & 1 & 1 & -2 é representada pela matriz:

Exercícios relacionados

Achar, sempre que possível, as matrizes inversas das matrizes dadas:
B=[lll1 & 2 & 3 2 & 3 & 5 3 & 4 & 2]
Determinar a e b de modo que os wetores it=(4,1,-3) e v=(6, a, b) sejam paralelos.
Dados os vetores A=lang<= 1,2,3rang<=, B=lang<= 4,-3,-1rang<=, C=lang<=-5,-3,5rang<= e D=lang<=-2,1,6rang<=, encontre:
e) C+3 D-8 A
Achar, sempre que possível, as matrizes inversas das matrizes dadas:
C=[lll1 & 0 & 1 0 & 3 & 0 1 & 0 & 4]