Encontre uma transformação linear cujo núcleo seja gerado por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma transformação linear cujo núcleo (ou seja, o conjunto de vetores que manda para o zero) é gerado pelos vetores e . Então, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e espaços vetoriais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Aqui, como vai de para , a matriz correspondente será de tamanho . Nosso objetivo é construir essa matriz de forma que os vetores e estejam no núcleo dela.
Passo 3
Sabemos que se um vetor está no núcleo de , então . Isso significa que quando multiplicamos a matriz de por esses vetores, o resultado deve ser o vetor zero em . Vamos chamar os vetores de e .
Passo 4
Vamos montar equações a partir dessa condição. Seja a matriz composta por três linhas , cada uma com quatro elementos:
Então, para G v3 = g31(0) + g32(1) + g33(1) + g34(1) = 0 :
Passo 5
Na verdade, como tem três linhas, precisamos garantir que cada uma delas, quando multiplicada por e , resulte em zero. Isso gera um sistema de equações para os elementos de . Resolvendo esse sistema, encontraremos as condições que os elementos de devem satisfazer.
Passo 6
Vamos simplificar. Para cada linha gi1(1) + gi2(2) + gi3(3) + gi4(4) = 0 (para v1 ) de gi1(0) + gi2(1) + gi3(1) + gi4(1) = 0 (para v2 ) :
Isso nos dá dois sistemas de equações para cada linha :
Passo 7
Resolvendo o segundo sistema para gi4 = -gi2 - gi3 :