Achar, sempre que possível, as matrizes inversas das matrizes dadas:
C=[lll1 & 0 & 1 0 & 3 & 0 1 & 0 & 4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a matriz inversa da matriz C = 1 & 0 & 1 0 & 3 & 0 1 & 0 & 4 , que é:
Para isso, vamos usar os conceitos de determinante, matriz adjunta e a fórmula da matriz inversa. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, a gente precisa calcular o determinante de det(C) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante nos ajuda a saber se a matriz tem inversa (se for diferente de zero) e é usado na fórmula da inversa.
Para uma matriz a & b & c d & e & f g & h & i , o determinante é calculado assim:
det(C) = 1(3 cdot 4 - 0 cdot 0) - 0(0 cdot 4 - 0 cdot 1) + 1(0 cdot 0 - 3 cdot 1) = 1(12 - 0) - 0(0 - 0) + 1(0 - 3) = 12 + 0 - 3 = 9
Onde .
Aplicando para a nossa matriz :
Então, .

Passo 3

Agora que sabemos que o determinante é diferente de zero, podemos prosseguir. O próximo passo é calcular a matriz adjunta de Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij) , que é a transposta da matriz dos cofatores.
Primeiro, vamos achar os cofatores de cada elemento de M11 = 3 & 0 0 & 4 Rightarrow det(M11) = 3 cdot 4 - 0 cdot 0 = 12 . O cofator C11 = (-1)^1+1 cdot 12 = 1 cdot 12 = 12 é dado por:
M12 = 0 & 0 1 & 4 Rightarrow det(M12) = 0 cdot 4 - 0 cdot 1 = 0
Onde C12 = (-1)^1+2 cdot 0 = -1 cdot 0 = 0 é a matriz que sobra depois de remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de M13 = 0 & 3 1 & 0 Rightarrow det(M13) = 0 cdot 0 - 3 cdot 1 = -3 .
Vamos calcular os cofatores:
  • C13 = (-1)^1+3 cdot (-3) = 1 cdot (-3) = -3 : Remove a primeira linha e primeira coluna:
    M21 = 0 & 1 0 & 4 Rightarrow det(M21) = 0 cdot 4 - 1 cdot 0 = 0
    C21 = (-1)^2+1 cdot 0 = -1 cdot 0 = 0
  • M22 = 1 & 1 1 & 4 Rightarrow det(M22) = 1 cdot 4 - 1 cdot 1 = 3 : Remove a primeira linha e segunda coluna:
    C22 = (-1)^2+2 cdot 3 = 1 cdot 3 = 3
    M23 = 1 & 0 1 & 0 Rightarrow det(M23) = 1 cdot 0 - 0 cdot 1 = 0
  • C23 = (-1)^2+3 cdot 0 = -1 cdot 0 = 0 : Remove a primeira linha e terceira coluna:
    M31 = 0 & 1 3 & 0 Rightarrow det(M31) = 0 cdot 0 - 1 cdot 3 = -3
    C31 = (-1)^3+1 cdot (-3) = 1 cdot (-3) = -3
  • M32 = 1 & 1 0 & 0 Rightarrow det(M32) = 1 cdot 0 - 1 cdot 0 = 0 : Remove a segunda linha e primeira coluna:
    C32 = (-1)^3+2 cdot 0 = -1 cdot 0 = 0
    M33 = 1 & 0 0 & 3 Rightarrow det(M33) = 1 cdot 3 - 0 cdot 0 = 3
  • C33 = (-1)^3+3 cdot 3 = 1 cdot 3 = 3 : Remove a segunda linha e segunda coluna:
    Cofatores = 12 & 0 & -3 0 & 3 & 0 -3 & 0 & 3
  • : Remove a segunda linha e terceira coluna:
  • : Remove a terceira linha e primeira coluna:
  • : Remove a terceira linha e segunda coluna:
  • : Remove a terceira linha e terceira coluna:
Agora, organizamos todos os cofatores na matriz de cofatores:

Passo 4

O próximo passo é formar a matriz adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores. Ou seja, trocamos as linhas pelas colunas:
Adj(C) = 12 & 0 & -3 0 & 3 & 0 -3 & 0 & 3 ^T = 12 & 0 & -3 0 & 3 & 0 -3 & 0 & 3
No caso, a matriz de cofatores já é simétrica, então a adjunta é igual à matriz de cofatores.

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da matriz inversa:
C^-1 = 1det(C) cdot Adj(C)
Sabemos que 12 & 0 & -3 0 & 3 & 0 -3 & 0 & 3 e C^-1 = 19 cdot 12 & 0 & -3 0 & 3 & 0 -3 & 0 & 3 = 129 & 0 & -39 0 & 39 & 0 -39 & 0 & 39 = 43 & 0 & -13 0 & 13 & 0 -13 & 0 & 13 .
Então:

Resposta

A matriz inversa de C^-1 = 43 & 0 & -13 0 & 13 & 0 -13 & 0 & 13 é:

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