Para que valores de beta o seguinte sistema homogêneo admite solução não trivial?
l 2 x+(beta-1) y=0 (beta-1) x+2 y=0

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos um sistema linear homogêneo de duas equações com duas incógnitas, onde o parâmetro está presente. Queremos descobrir para quais valores de esse sistema tem soluções não triviais (ou seja, soluções diferentes de e ).
Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente tratando de sistemas lineares e condições para existência de soluções não triviais. Para resolver, vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema:
2 & beta - 1 beta - 1 & 2

Passo 3

Para que um sistema homogêneo tenha soluções não triviais, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero. Vamos calcular esse determinante.

Passo 4

O determinante da matriz a & b c & d é dado por det(A) = (2)(2) - (beta - 1)(beta - 1) . Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 5

Simplificando:
det(A) = 4 - (beta - 1)^2

Passo 6

Vamos igualar o determinante a zero e resolver para 4 - (beta - 1)^2 = 0 :

Passo 7

Resolvendo a equação:
(beta - 1)^2 = 4
beta - 1 = pm 2
beta = 1 pm 2

Resposta

O sistema admite soluções não triviais para e .

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