Encontre uma transformação linear F: R^3 R^3 cuja imagem seja gerada por (1,2,3) e (4,5,6).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma transformação linear cuja imagem seja gerada pelos vetores e . Isso está relacionado ao estudo de transformações lineares e às suas imagens, onde precisamos usar matrizes para representar essas transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como vai de para , vamos procurar uma matriz que faça isso.

Passo 3

A imagem de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz . Como queremos que a imagem seja gerada por e , vamos usar esses vetores como colunas da matriz .

Passo 4

Então, vamos montar a matriz colocando na primeira coluna e na segunda coluna. Para a terceira coluna, podemos colocar um vetor que seja combinação linear dos dois primeiros ou simplesmente o vetor zero para simplificar.

Passo 5

Optando pela simplicidade, vamos colocar o vetor zero na terceira coluna. Assim, nossa matriz A = 1 & 4 & 0 2 & 5 & 0 3 & 6 & 0 fica:

Resposta

A transformação linear F = 1 & 4 & 0 2 & 5 & 0 3 & 6 & 0 que atende aos requisitos é representada pela matriz:

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C=[lll1 & 0 & 1 0 & 3 & 0 1 & 0 & 4]
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