Encontre uma transformação linear cuja imagem seja gerada por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma transformação linear cuja imagem seja gerada pelos vetores e . Isso está relacionado ao estudo de transformações lineares e às suas imagens, onde precisamos usar matrizes para representar essas transformações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como vai de para , vamos procurar uma matriz que faça isso.
Passo 3
A imagem de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz . Como queremos que a imagem seja gerada por e , vamos usar esses vetores como colunas da matriz .
Passo 4
Então, vamos montar a matriz colocando na primeira coluna e na segunda coluna. Para a terceira coluna, podemos colocar um vetor que seja combinação linear dos dois primeiros ou simplesmente o vetor zero para simplificar.
Passo 5
Optando pela simplicidade, vamos colocar o vetor zero na terceira coluna. Assim, nossa matriz fica:
Resposta
A transformação linear F = 1 & 4 & 0 2 & 5 & 0 3 & 6 & 0 que atende aos requisitos é representada pela matriz: