Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas são representadas pelas correspondentes séries: a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de potências da função
centrada no ponto
. Isso significa que vamos expandir essa função em torno de
usando uma série de potências e descobrir para quais valores de
essa série representa a função original.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para facilitar. Vamos definir
. Assim,
. Substituindo na função, temos:
Agora, lembramos da série geométrica, que é:
Multiplicando ambos os lados por
, a expressão fica:
Substituindo
de volta, temos:
Passo 3
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando:
Substituindo
, temos:
Isso significa que:
Subtraindo 1 de todas as partes:
Então, a série de potências que encontramos representa a função
para valores de
entre
e
.
Resposta
A série de potências de
centrada em
é:
E essa série é válida para
no intervalo
.
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Usando séries de potências, prove que: a)
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas são representadas pelas correspondentes séries: d)
Usando séries de potências, prove que: b)