Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas são representadas pelas correspondentes séries: a) f(x) = 1/x, a = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de potências da função centrada no ponto . Isso significa que vamos expandir essa função em torno de usando uma série de potências e descobrir para quais valores de essa série representa a função original.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para facilitar. Vamos definir . Assim, . Substituindo na função, temos:
Agora, lembramos da série geométrica, que é:
Multiplicando ambos os lados por , a expressão fica:
Substituindo de volta, temos:

Passo 3

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando:
Substituindo , temos:
Isso significa que:
Subtraindo 1 de todas as partes:
Então, a série de potências que encontramos representa a função para valores de entre e .

Resposta

A série de potências de centrada em é:
E essa série é válida para no intervalo .

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