Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida de duas formas: para qualquer ponto diferente de
, ela é igual a
, e no ponto
, ela vale zero. Nosso objetivo aqui é descobrir em quais pontos essa função é diferenciável. Pra isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável numa função de duas variáveis, e quais condições a função deve satisfazer pra isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função de duas variáveis é diferenciável num ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto e se a aproximação linear funcionar bem ali. Mas, pra simplificar, vamos verificar a diferenciabilidade verificando a continuidade e as derivadas parciais no ponto em questão. Então, vamos analisar se a função é contínua e se as derivadas parciais existem e são contínuas em todos os pontos, especialmente no ponto
.
Passo 3
Vamos começar observando os pontos onde
. Nesses pontos, a função
é uma razão de polinômios, e o denominador nunca é zero (já que
). Portanto, nesses pontos, a função é suave e diferenciável.
Passo 4
Agora, o ponto delicado é
. Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto e se as derivadas parciais existem e são contínuas ali. Primeiro, vamos verificar a continuidade.
Passo 5
Para que
seja contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual a
. Vamos calcular esse limite:
Passo 6
Vamos analisar o limite usando coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Então, o limite quando
é:
Passo 7
Como o limite é zero, que é igual a
, a função é contínua em
.
Passo 8
Agora, vamos verificar as derivadas parciais em
. Vamos calcular
e
no ponto.
Passo 9
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 10
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 11
As derivadas parciais existem e são finitas em
. Agora, precisamos verificar se elas são contínuas nesse ponto. Observando as expressões das derivadas parciais para
, percebemos que elas podem não ser contínuas em
. Por exemplo, a derivada parcial em relação a
tende a
quando nos aproximamos de
ao longo do eixo
, mas pode ter comportamentos diferentes em outras direções.
Passo 12
Como as derivadas parciais não são contínuas em
, a função
não é diferenciável nesse ponto, apesar de ser contínua e ter derivadas parciais que existem ali.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos de
menos no ponto
. Ou seja, ela é diferenciável para todo
.
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.
.
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.
.
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