Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
f(x, y) = { x^3 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas formas: para qualquer ponto diferente de , ela é igual a , e no ponto , ela vale zero. Nosso objetivo aqui é descobrir em quais pontos essa função é diferenciável. Pra isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável numa função de duas variáveis, e quais condições a função deve satisfazer pra isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de duas variáveis é diferenciável num ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto e se a aproximação linear funcionar bem ali. Mas, pra simplificar, vamos verificar a diferenciabilidade verificando a continuidade e as derivadas parciais no ponto em questão. Então, vamos analisar se a função é contínua e se as derivadas parciais existem e são contínuas em todos os pontos, especialmente no ponto .

Passo 3

Vamos começar observando os pontos onde . Nesses pontos, a função é uma razão de polinômios, e o denominador nunca é zero (já que ). Portanto, nesses pontos, a função é suave e diferenciável.

Passo 4

Agora, o ponto delicado é . Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto e se as derivadas parciais existem e são contínuas ali. Primeiro, vamos verificar a continuidade.

Passo 5

Para que seja contínua em , o limite de quando se aproxima de deve ser igual a . Vamos calcular esse limite:

Passo 6

Vamos analisar o limite usando coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:
Então, o limite quando é:

Passo 7

Como o limite é zero, que é igual a , a função é contínua em .

Passo 8

Agora, vamos verificar as derivadas parciais em . Vamos calcular e no ponto.

Passo 9

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 10

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 11

As derivadas parciais existem e são finitas em . Agora, precisamos verificar se elas são contínuas nesse ponto. Observando as expressões das derivadas parciais para , percebemos que elas podem não ser contínuas em . Por exemplo, a derivada parcial em relação a tende a quando nos aproximamos de ao longo do eixo , mas pode ter comportamentos diferentes em outras direções.

Passo 12

Como as derivadas parciais não são contínuas em , a função não é diferenciável nesse ponto, apesar de ser contínua e ter derivadas parciais que existem ali.

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos de menos no ponto . Ou seja, ela é diferenciável para todo .

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