Usando séries de potências, prove que: b)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Para isso, vamos usar séries de potências. Precisamos entender a expansão em série de
e substituir na expressão para simplificar o limite.
Passo 2
Primeiro, recordemos a série de Taylor para
ao redor de 0:
Aqui,
representa o fatorial de
.
Passo 3
Substituímos a série de
na expressão do numerador:
Passo 4
Simplificamos os termos:
Os termos de ordem inferior a
cancelam.
Passo 5
Agora, substituímos de volta no limite:
Como
, os termos de ordem superior a
se tornam insignificantes.
Passo 6
Dividindo cada termo por
:
No entanto, notamos que houve um erro de sinal. Revisando a substituição:
Inicialmente:
Portanto, o sinal correto é positivo.
Resposta
Exercícios relacionados
Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas são representadas pelas correspondentes séries: d)
Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas são representadas pelas correspondentes séries: a)
Prove as igualdades abaixo:
a)
a)
Ache o raio e intervalo de convergência da série de potências: b)