Usando séries de potências, prove que: a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o limite quando
se aproxima de 0 para a expressão
é igual a
. A matéria envolvida aqui são séries de potências, que são uma maneira de representar funções como somas infinitas de termos. Vamos precisar usar a série de potências do
para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências da função
. A série de Taylor de
em torno de 0 é:
Isso significa que podemos escrever
como a soma desses termos infinitos.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa série na expressão que temos no limite:
Ao subtrair
, os primeiros dois termos se cancelam:
Passo 4
Agora, substituímos isso de volta na expressão do limite:
Passo 5
Quando
se aproxima de 0, os termos que contêm
e potências superiores de
vão para 0. Portanto, o limite da expressão fica apenas com o termo constante:
Resposta
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Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
Use a regra da cadeia para achar
.
.
Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas são representadas pelas correspondentes séries: a)
Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas são representadas pelas correspondentes séries: d)