Usando séries de potências, prove que: a) lim x 0 e^x-(1+x)x^2=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o limite quando se aproxima de 0 para a expressão é igual a . A matéria envolvida aqui são séries de potências, que são uma maneira de representar funções como somas infinitas de termos. Vamos precisar usar a série de potências do para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências da função e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + x^44! + dots . A série de Taylor de em torno de 0 é:
Isso significa que podemos escrever como a soma desses termos infinitos.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa série na expressão que temos no limite:
e^x - (1 + x) = (1 + x + x^22 + x^36 + dots ) - (1 + x)
Ao subtrair e^x - (1 + x) = x^22 + x^36 + dots , os primeiros dois termos se cancelam:

Passo 4

Agora, substituímos isso de volta na expressão do limite:
e^x - (1 + x)x^2 = x^22 + x^36 + dotsx^2 = 12 + x6 + dots

Passo 5

Quando limx to 0 e^x - (1 + x)x^2 = 12 se aproxima de 0, os termos que contêm e potências superiores de vão para 0. Portanto, o limite da expressão fica apenas com o termo constante:

Resposta

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