Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas são representadas pelas correspondentes séries: d) f(x) = raiz(x), a = 9

Passo 1

Estamos vendo um exercício sobre séries de potências, especificamente queremos encontrar a série de potências da função em torno do ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor, que nos ajuda a expressar funções como somas infinitas de potências centradas em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com a série de Taylor. Sabemos que:

Passo 3

Agora, reconhecemos que a função pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de . A expansão é:
onde .

Passo 4

Substituindo na série, temos:

Passo 5

Multiplicando toda a série por 3 (lembrando que ), obtemos a série de potências de :
Simplificando, temos:

Passo 6

Para determinar o intervalo de convergência dessa série, precisamos que a expressão dentro da raiz seja válida, ou seja:
Isso significa que a série converge para valores de que estão a menos de 9 unidades de distância de 9.

Passo 7

Portanto, o intervalo de convergência é:

Resposta

A série de potências de em torno de é:
E o intervalo onde essa série representa a função é:

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Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas são representadas pelas correspondentes séries: a) f(x) = 1/x, a = -1
Usando séries de potências, prove que: a) lim x 0 e^x-(1+x)x^2=12
Usando séries de potências, prove que: b) lim x 0 1-cos x-12 x^2x^4=124
Prove as igualdades abaixo:
a) 1/raiz(3) * (1 - 1/9 + 1/45 - ... + (-1)^n / (3^n * (2n + 1)) ...) = pi/6