Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas são representadas pelas correspondentes séries: d)
Passo 1
Estamos vendo um exercício sobre séries de potências, especificamente queremos encontrar a série de potências da função em torno do ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor, que nos ajuda a expressar funções como somas infinitas de potências centradas em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com a série de Taylor. Sabemos que:
Passo 3
Agora, reconhecemos que a função pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de . A expansão é:
onde .
Passo 4
Substituindo na série, temos:
Passo 5
Multiplicando toda a série por 3 (lembrando que ), obtemos a série de potências de :
Simplificando, temos:
Passo 6
Para determinar o intervalo de convergência dessa série, precisamos que a expressão dentro da raiz seja válida, ou seja:
Isso significa que a série converge para valores de que estão a menos de 9 unidades de distância de 9.
Passo 7
Portanto, o intervalo de convergência é:
Resposta
A série de potências de em torno de é:
E o intervalo onde essa série representa a função é: