Prove as igualdades abaixo:
a)
a)
Passo 1
Vamos lá! Você me pediu para provar que a soma dessa série infinita
é igual a
. Para resolver isso, vamos trabalhar com séries infinitas e usar um pouco de cálculo para encontrar a soma dessa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte da série dentro dos colchetes:
. Essa é uma série alternada, onde os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa.
Passo 3
Observamos que cada termo da série pode ser escrito como
. Isso nos lembra de uma expansão em série de uma função trigonométrica, especificamente a função arctangente, que tem uma série de Taylor conhecida.
Passo 4
A série de Taylor para
é dada por:
Comparando com a nossa série, podemos ver que se escolhermos
, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão, temos:
Isso é quase o que temos na nossa série original. Na verdade, podemos reescrever nossa série como:
Passo 6
Percebemos que a série dentro dos colchetes é relacionada à série de
. Sabemos que
, já que
.
Passo 7
Assim, temos:
Portanto, provamos que:
Resposta
A igualdade é comprovada e a soma da série é igual a
.
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Usando séries de potências, prove que: b)
Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas são representadas pelas correspondentes séries: d)
Ache o raio e intervalo de convergência da série de potências: b)
Ache o raio e intervalo de convergência da série de potências: c)