Prove as igualdades abaixo:
a) 1/raiz(3) * (1 - 1/9 + 1/45 - ... + (-1)^n / (3^n * (2n + 1)) ...) = pi/6

Passo 1

Vamos lá! Você me pediu para provar que a soma dessa série infinita é igual a pi/6. Para resolver isso, vamos trabalhar com séries infinitas e usar um pouco de cálculo para encontrar a soma dessa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte da série dentro dos colchetes: . Essa é uma série alternada, onde os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa.

Passo 3

Observamos que cada termo da série pode ser escrito como . Isso nos lembra de uma expansão em série de uma função trigonométrica, especificamente a função arctangente, que tem uma série de Taylor conhecida.

Passo 4

A série de Taylor para é dada por:
Comparando com a nossa série, podemos ver que se escolhermos , temos:

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
Isso é quase o que temos na nossa série original. Na verdade, podemos reescrever nossa série como:

Passo 6

Percebemos que a série dentro dos colchetes é relacionada à série de . Sabemos que , já que .

Passo 7

Assim, temos:
Portanto, provamos que:

Resposta

A igualdade é comprovada e a soma da série é igual a pi/6.

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Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas são representadas pelas correspondentes séries: d) f(x) = raiz(x), a = 9
Ache o raio e intervalo de convergência da série de potências: b) sumn=0^infty(-1)^n (x-3)^nn+1
Ache o raio e intervalo de convergência da série de potências: c) sumn=1^infty(-1)^n 1n 6^n(2 x-1)^n